Inscription / Connexion Nouveau Sujet
point fixe ...
salut
un petit exo sympa pour s'amuser un peu ...
Soit f et g deux applications continues de I = [0,1] dans I. On suppose que f o g = g o f.
Montrer que f et g admettent un point fixe commun.
Bonjour,
La continuité de f et g sur [0,1] et leur image dans [0,1] nous permettent
de déduire que chaque fonction coupe la droite y=x au moins une fois donc
Et aussi
...
Alain
Bonjour,
la fonction f est continue et l'intervalle [0;1] est stable par f ..
en introduisant la fonction h définie par h(x)=f(x)-x ... qui est continue, on justifie que h s'annule au moins une fois sur [0;1] et, donc, que f possède au moins un point fixe sur [0;1] ... que je nomme 
.
Comme f()=, alors gof()=g() ... mais, comme gof=fog, alors fog()=f[g()] = g() ...donc, u1=g() est aussi un point fixe de f ...
Donc, pour tout n>0, un=gn() est aussi un point fixe de f.
Il me reste à prouver que les un=gn() vont converger vers une limite 
qui est un point fixe de g pour conclure que, grâce à la continuité des fonctions f et g, nous aurons f()=. ce qui est demandé.
Bonjour,
@GGenn:
C'est une suite bornée dans le compact elle admet donc une sous-suite convergeant vers un
.
et toute valeur d'adhérence de la suite convient ...
Oui, j'ai remarqué aussi, c'est pourquoi je me suis borné à ne parler que d'existence
.Bonjour,
"adhérence de la suite" ,je veux bien.
En clair:
les fonctions f et g possèdent un point commun sur la bissectrice
y=x ,
Alain
Merci Surb,
c'est là que mes connaissances commencent à manquer ... suite bornée dans un compact => sous suite convergente ... mais bien sur ! sauf que je ne l'avais plus dans ma p'tite tête ...
N'empêche, merci Carpediem pour ce joli bout de chemin .
...
admet une sous-suite convergente (théorème de Bolzano-Weierstrass). Si l'on note
cette sous-suite, alors par continuité de
(spdg
):
Regarde ce qui se passe si et
= 0,1 ; 0,4 ; 0,1 ; 0,4 ; ...
On a ,
a deux valeurs d'adhérences qui ne sont pas des points fixes de
.
Imod
Je ne cherchais pas à donner de contre-exemple mais simplement à montrer que la démonstration n'était pas complète .
Imod
bon une démo complète ....
on a démontré que :
f admet un point fixe a
la suite définie par et
est "point fixe" de f
soit b une valeur d'adhérence de la suite (un)
donc ::
il existe une sous-suite (vn) telle que lim vn) = b
pour tout n
or f est continue donc f(b) = b en passant à la limite
il existe une suite d'entiers k telle que
par continuité de g on en déduit de nouveau b = g(b) en passant à la limite
donc f(b) = g(b) = b
une autre démo ... par l'absurde ....
supposons qu'il n'existe pas de point fixe commun à f et g
montrer que ::
1/ h = f - g garde un signe constant
2/ (un) est monotone
3/ (un) converge vers un réel b
4/ f(b) = b
5/ g(b) = b
6/ conclure
pardon l'hypothèse est ::
supposons qu'il n'existe pas de réel x tel que f(x) = g(x) .... tout simplement
Imod,
Il me semble que ce que tu veux voir c'est cela:
Soit une suite bornée et
pour un nombre infini d'entiers
ainsi que
et
Alors par definition de
on a
et donc il existe seulement un nombre fini de
pour lesquels
Par contre il existe
. Donc il existe une infinité de x_n dans l'intervalle
, on prend
avec
(demo du thm de Bolzano-Weierstrass, tiré directement du cours de Mr. Rappaz)
C'est gentil , mais je me souviens encore un peu du théorème BW que j'ai appris il y a plus de 30 ans . "L'autre" démo de Carpediem est la seule démo réaliste que j'ai lue ici 
Imod
Good morning,
Peut-on utiliser le fait suivant:
g et f 
x
Soit ici:
Si le nombre de points fixes de f est fini nous obtenons au moins un cycle p tel que:
...
Alain
La différence essentielle entre la deuxième démo et la première c'est qu'on a une suite convergente et pas une sous-suite convergente . Ca change tout car si est la limite de
,
mais si
est seulement une valeur d'adhérence rien n'oblige à ce que
.
En bref , je ne suis pas d'accord avec la première démo mais si elle vous convient , je ne vais pas passer des heures à argumenter
Imod
La différence essentielle entre la deuxième démo et la première c'est qu'on a une suite convergente et pas une sous-suite convergente .
... N'importe quelle sous-suite convergeante convient, il suffit de la renommer pour obtenir une suite convergeante (la limite est alors un point fixe commun)...Si je te comprends bien , si une suite avec g continue de [0,1] dans lui même admet une valeur d'adhérence alors celle-ci est un point fixe de g ?
Imod
Bonjour,
Tous les points fixes sont-ils communs?
Peut-on étendre le résultat à d'autres intervalles [a,b] ?
Remarque: un point fixe commun x1 à f et g , soit : x1 | g = f = Id
Alain
Il est clair qu'on peut remplacer [0,1] par n'importe quel intervalle compact . Par contre si on prend f = Id et g quelconque on voit bien que f et g commutent sans partager tous leurs points fixes .
Imod
Si je te comprends bien , si une suite
Oui, effectivement. De plus l'existence de la valeur d'adhérence est garantie par la compacité.
Par contre si on prend
Oui et alors? On a jamais dit que ça devait être le cas... De plus
Pardon, je n'avais pas vu que c'était en réponse à Alainpaul.... donc il ne faut pas lire ma deuxième remarque 
...
@Surb
Si tu prends ,
,
, tu n'as que deux valeurs d'adhérence 0,4 et 0,6 et aucune d'entre elles n'est un point fixe de
.
Imod
certes oui mais à nouveau les hypothèses complètes sur f et g sont ::
f et g continues de [0, 1] dans lui-même
f et g commutent
et quelles sont les fonctions qui commutent avec g(x) = 1 - x ?
Il me semble que toutes les fonctions continues admettant I(0,5;0,5) comme centre de symétrie commutent avec g mais la question n'est pas là .
La démonstration du 20:30 à 19:05 prouve clairement que f et g ont un point fixe commun donc je ne risque de trouver un contre-exemple . Ce que je mets en doute c'est la validité de la démonstration du 20:03 à 18:45 , au mieux elle est incomplète .
Imod
oui je sais ta question est :::
une valeur d'adhérence de la suite (gn(a)) où a est un point fixe de f est-elle point fixe de g ?
la réponse est oui ::: la démonstration 2 le prouve puisque la suite ne possède qu'une valeur d'adhérence ::: sa limite !!!
C'est bien ça et il faut aller chercher la preuve dans la deuxième démo , c'est là que le bât blesse 
Imod
Bonsoir Imod,
Les itérées de g(x)=1-x ,n entier correspondent à
Sur R nous avons x et 1-x comme solutions,
les itérées commutent entr' elles.
Dans C il y en a une infinité,
Exemple:
ix-i/2+1/2 et 1-x
Alain
Annuler
connectez vous