Bonjour
Svp comment on peut montrer que pour toute fonction croissante définie de [0,1] dans lui même admet un point fixe
Bonjour
Je sais cette démarche le problème que j'ai est pourquoi on considère que sup A appartient à A
Pour tout , on a donc .
Puisque pour tout , on a aussi .
Pour tout , il existe tel que donc .
Puisque ceci vaut pour tout , on a aussi .
Finalement
Est ce que vous savez comment le montrer svp ?
J'arrive pas à comprendre pourquoi
Pouvez vous m'éclairer cela
Très simplement : si A est une partie de [0;1] alors 1 majore A.
Alors par définition du sup qui est le plus petit majorant, sup(A) <= 1.
Soit f : [0 , 1] définie par
f(x) = x/2 si x [0 , 1/2] et
f(x) = ( 1 + x)/2 si x ]1/2 , 1]
f est (strictement) croissante et f([0 , 1]) est contenu dans [0 , 1]
Pourtant on a f(x) x pour tout x de [0 , 1] .
Voila donc une " fonction croissante définie de [0,1] dans lui même " qui n'admet pas de point fixe .
Il manque un petit chouïa dans les hypothèses faites .
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