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Niveau Maths sup
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Point fixe

Posté par
Umaima
19-10-18 à 21:27

Bonjour
Svp comment on peut montrer que pour toute fonction croissante définie de [0,1] dans lui même admet un point fixe

Posté par
jsvdb
re : Point fixe 19-10-18 à 21:36

Bonjour Umaima.

Tu peux considérer \alpha = \sup~\{x \in [0;1]~/~f(x) \geq x\} et montrer que f(\alpha) = \alpha

Posté par
Umaima
re : Point fixe 19-10-18 à 21:39

Bonjour
Je sais cette démarche le problème que j'ai est pourquoi on considère que sup A appartient à A

Posté par
jsvdb
re : Point fixe 19-10-18 à 21:44

Pour tout x > \alpha, on a f(x) < x donc f(\alpha) \leq f(x) < x.

Puisque f(\alpha) \leq x pour tout x > \alpha, on a aussi f(\alpha) \leq \alpha.

Pour tout x < \alpha, il existe t \in ]x,\alpha] tel que f(t)\geq t donc f(\alpha) \geq f(t) \geq t \geq x.

Puisque ceci vaut pour tout x < \alpha, on a aussi f(\alpha)\geq \alpha.

Finalement f(\alpha)= \alpha

Posté par
Umaima
re : Point fixe 19-10-18 à 21:59

Merci
Vous avez écrit f(a) donc a appartient à [0,1] mais pourquoi ?

Posté par
jsvdb
re : Point fixe 19-10-18 à 22:01

J'ai pas compris !

Posté par
Umaima
re : Point fixe 19-10-18 à 22:02

Pourquoi supA appartient à [0,1]??

Posté par
jsvdb
re : Point fixe 19-10-18 à 22:03

[0;1] est fermé, donc toute partie de [0;1] possède son sup dans [0;1] ...

Posté par
Umaima
re : Point fixe 19-10-18 à 22:06

Est ce que vous savez comment le montrer svp ?
J'arrive pas à comprendre pourquoi
Pouvez vous m'éclairer cela

Posté par
jsvdb
re : Point fixe 19-10-18 à 22:14

Très simplement : si A est une partie de [0;1] alors 1 majore A.
Alors par définition du sup qui est le plus petit majorant, sup(A) <= 1.

Posté par
Umaima
re : Point fixe 19-10-18 à 22:23

Merci beaucoup

Posté par
etniopal
re : Point fixe 20-10-18 à 12:06

     Soit f : [0 , 1]   définie par
f(x) = x/2  si x [0 , 1/2] et
f(x) = ( 1 + x)/2   si x ]1/2 , 1]

f est (strictement) croissante et  f([0 , 1])  est contenu dans  [0 , 1]
Pourtant on a f(x) x pour tout x de  [0 , 1] .

Voila donc une " fonction croissante définie de [0,1] dans lui même " qui n'admet pas de point fixe .

Il manque un petit chouïa dans les hypothèses faites .

Posté par
mousse42
re : Point fixe 20-10-18 à 12:14

Salut etniopal

f(0)=0

Posté par
etniopal
re : Point fixe 20-10-18 à 12:36

Oui ( et f(1) = 1 ) .
je n'ai rien dit !!



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