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Point fixe sur les fonctions
Bonsoir tout le monde,
Voici l'énoncé de mon exo:
Soit 𝑓 une fonction définie et continue sur l'intervalle 𝐼 = [0;1], et telle que : ∀𝑥 ∈ 𝐼,𝑓(𝑥) ∈ 𝐼 Démontrer que : ∃𝑎 ∈ 𝐼,𝑓(𝑎) = 𝑎
Indication : on pourra s'aider d'une fonction auxiliaire, judicieusement choisie, pour laquelle il sera facile de montrer l'existence d'une racine sur 𝐼.
Je ne sais pas trop où commencer, je pensais prendre x² comme fonction aux. ou quelque chose comme cela. Ca marcherait, ou faudrait-il en prendre une autre? Merci!!
D'accord, mais après cela je ne vois pas du tout comment faire ? On montre que g(x) a une racine, et que l'image de -x en -1 est -1 ?
Merci pour votre aide.
tu fermes les autres tentatives d'ouverture également
là tu vois c'est ce qu'on appelle perdre du temps...
Bonsoir tout le monde,
Voici l'énoncé de mon exo:
Soit 𝑓 une fonction définie et continue sur l'intervalle 𝐼 = [0;1], et telle que : ∀𝑥 ∈ 𝐼,𝑓(𝑥) ∈ 𝐼 Démontrer que : ∃𝑎 ∈ 𝐼,𝑓(𝑎) = 𝑎
Indication : on pourra s'aider d'une fonction auxiliaire, judicieusement choisie, pour laquelle il sera facile de montrer l'existence d'une racine sur 𝐼.
Je ne sais pas trop où commencer, je pensais prendre x² comme fonction aux. ou quelque chose comme cela. Ca marcherait, ou faudrait-il en prendre une autre? Merci!!
*** message déplacé ***
Salut,
Tu veux prouver que f(a) = a , c'est à dire fa) - a = 0 ...
Je te suggère de prendre g(x) = f(x) - x.
*** message déplacé ***
D'accord, mais après cela je ne vois pas du tout comment faire. On montre que g(x) a une racine, et que l'image de -x en -1 est -1 ?
Merci pour votre aide.
*** message déplacé ***
Utilise le TVI sur g , pour prouver qu'elle s'annule au moins une fois dans [0;1]...
*** message déplacé ***
D'accord, ce que j'ai fait: (>= signifie supérieur ou égal)
On a f(a)=a
=> f(a)-a=0
Donc g(x)=f(x)-x
=> f(0)>=0 car f(x)-x=0
=>g(0)>=0
Cas où g(0)=0
a=0 car f(0)-0=0
Cas où g(1)=0
a=1 car f(1)-1=0
Cas où g(0)>0 et g(0)<0
D'après le TVI, Si k est un réel compris entre g(0) et g(1) alors il existe un réel c tel que f(c)=k
Donc il existe un a appartenant à un intervalle I tel que f(a)=a
Est-ce correct? Merci beaucoup!
*** message déplacé ***
Bonjour,
Voici l'énoncé de mon devoir:
Soit 𝑓 une fonction définie et continue sur l'intervalle 𝐼 = [0;1], et telle que : ∀𝑥 ∈ 𝐼,𝑓(𝑥) ∈ 𝐼 Démontrer que : ∃𝑎 ∈ 𝐼,𝑓(𝑎) = 𝑎
Indication : on pourra s'aider d'une fonction auxiliaire, judicieusement choisie, pour laquelle il sera facile de montrer l'existence d'une racine sur 𝐼.
Ce que j'ai fait: (>= signifie supérieur ou égal)
On a f(a)=a
=> f(a)-a=0
Donc g(x)=f(x)-x
=> f(0)>=0 car f(x)-x=0
=>g(0)>=0
Cas où g(0)=0
a=0 car f(0)-0=0
Cas où g(1)=0
a=1 car f(1)-1=0
Cas où g(0)>0 et g(0)<0
D'après le TVI, Si k est un réel compris entre g(0) et g(1) alors il existe un réel c tel que f(c)=k
Donc il existe un a appartenant à un intervalle I tel que f(a)=a
Est-ce correct? Merci beaucoup!
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salut
c'est correct mais on peut rédiger plus simplement sans s'occuper des sous-cas 0 et 1 avec des inégalités larges ...
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