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Niveau autre
Point minimisant les distances d'un nuage de points
Posté par Bluegigis
Bonjour à toutes et à tous.
J'ai un nuage de points dont je connais les coordonnées, et je cherche le centre de ce groupe de points, c'est-à-dire le point dont la distance moyenne à l'ensemble des points de mon groupe sera minimale.
Dans un premier temps, j'ai pensé que ce point central devait être le barycentre, et l'ai calculé en faisant la moyenne des abscisses et ordonnées (puisque l'ensemble de mes points n'est pas pondéré). J'ai ensuite calculé les distances de chacun des points à mon barycentre, puis ai fait la moyenne de ces distances.
Cependant, j'ai également un autre indice à calculer, à savoir la distance moyenne entre chacun des points de mon nuage de points, et un point fixé arbitrairement. Or j'ai trouvé une distance moyenne inférieure entre mon point fixé arbitrairement et les points du groupe par rapport à la distance moyenne entre le groupe et le barycentre.
Je ne comprends pas comment cela est possible. Le barycentre n'est-il pas censé minimiser la moyenne des distances?
Merci pour tout renseignement concernant ce problème.
édit Océane : forum modifié
Bonjour Bluegigis,
Etant donné un nuage de points Pi pondérés par des masses mi (qui peuvent être toutes égales à 1) :
- le barycentre G des (Pi;mi) est le point qui minimise la somme des carrés pondérés des distances aux points Pi : 
mi GPi²
- le (ou les) point de Fermat F des (Pi;mi) est le point qui minimise la somme des distances pondérées aux points Pi : mi GPi ; c'est un problème plus difficile, et F et G sont rarement confondus (cas des sommets du triangle équilatéral isopondérés).
salut
la moyenne minimise la somme des carrés des distances ....
la médiane minimise la somme des distances ....
....
Merci pour vos réponses.
Donc si je suis bien, mon point de Fermat pour mon nuage de point peut être calculé sur Excel en faisant la médiane des abscisses et la médiane des ordonnées (désolé si ma question semble idiote, mais je n'ai que peu de bases sur ce domaine).
Cordialement,
Régis
il me semble que c'est cela ....
c'est vrai en dimension 1 .... mais je ne sais pas si c'est vrai en dimension 2 ....
faut essayer .... ou le prouver .....
Salut Carpediem,
Dans le cas de la métrique euclidienne où , le point ayant pour coordonnées les médianes de chaque coordonnée des n points n'est pas le point de Fermat (ou point médian) des n points ; il l'est dans le cas de la métrique "rectilinéaire" où
.
Bonjour
Bluegigis>
Es-tu sûr de ton énoncé?
Ne s'agirait-il pas des carrés des distances, et non pas des distances elles-mêmes?
Sinon, si le nuage n'a pas de particularité géométrique (alignement par exemple) , c'est un probleme difficile..
Bonjour et merci pour vos réponses.
En effet, le point dont l'abscisse est égale à la médiane des abscisses et l'ordonnée égale la médiane des ordonnées ne minimise pas la somme des distances.
Pour l'énoncé, c'est un problème concret que je rencontre dans mon travail, et les nuages de points sont donc complètement aléatoires sans particularité géométrique. Je me demandais donc simplement s'il existait un moyen de calculer cela sans développer une application spécifiquement pour cela.
Merci en tout cas de vous être penchés sur mon problème,
Régis
Bonsoir
Bluegigis>
Je viens de trouver avec Google un article (pdf) en anglais, qu'on peut consulter librement et qui montre que le point qui nous intéresse est limite d'une suite de points du plan.
La programmation de cette suite doit être assez facile.
Il s'agit de
On the point for which the sum of the distances to n given point is minimum
de E.Weiszfeld et Frank Plastria
paru dans ANNALS of OPERATIONS RESEARCH (page 8)
.. et merci Pierre_D ...
c'est ce que je pensais, la métrique naturelle "n'est pas la bonne" pour généraliser au plan ...
Salut
carpediem:::taper le titre de l'article (en anglais) sous Google.
Par ailleurs, il me semble évident depuis le début que Bluegigis parle de distance euclidienne.
Salut à tous,
En effet je parle de distance euclidienne.
Merci pour l'article, je vais potasser ça ce week-end.
Dès que je trouve une réponse, je vous tiens au courant.
Bonne journée