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Niveau terminale
Points coplanaires
Posté par Luluts
Bonjour,
J'ai un exercice à faire, et je ne sais pas du tout comment le résoudre:
On considère les points A(0;1;1), B(1;0;0) C(-1;2;1) et D(0;1;2)
1) Démontrer que les points A,B,C et D sont coplanaires
2)Déterminer une équation cartesienne du plan (BCD)
Merci pour votre aide 
Bonsoir,
Les vecteurs (en gras) AB(1;-1;-1) et AC(-1;1;0) ne sont pas colinéaires car leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles.
Les points A, B et C définissent donc un plan auquel on peut associer le repère (A,AB,AC)
Pour démontrer que D appartient également à ce plan, il suffit de montrer que le vecteur AD peut s'écrire sous la forme d'une combinaison linéaire des vecteurs AB et AC, c'est à dire trouver 2 coefficients 
et 
tels que AD=AB+AC
Non. AB+AC a pour coordonnées (0;0;-1) alors que AD(0;0;1)
Je te laisse (un peu) chercher comment déterminer et ...
Je pense qu'on doit faire un système... Avec xad=xab=xac, yad=yab+yac et zad=zab+zac
MAis je n'arrive toujours pas à trouver la solution, car je trouve des résultats qui fonctionnent avec les abscisses et les ordonnées mais jamais avec la côte!
Oui, il faut écrire le système dont tu parles.
C'est à dire si on prend x, y à la place de , :
x-y=0
-x+y=0
-x=1
Ce système a t-il une solution (x;y) et si oui laquelle?
Attention, il n'y a que 2 inconnues dans ton système: x et y.
On cherche x et y qui vérifient xAB+yAC=AD
Ce qui donne le système que j'ai précédemment écrit en projetant sur les 3 axes du repère initial (
;
;
)
Maintenant, pour déterminer une équation cartésienne du plan (BCD) qui est le même que le plan (ABC), il te faut dans un premier temps trouver un vecteur normal à ce plan, c'est à dire un vecteur orthogonal à AB et AC.
Donc je prend n un vecteur normal au plan. n(a;b;c) et j'ai BC(-2;2;1) et CD(-1;-1;1)
J'obtient le système suivant:
N.BC=0
N.CD=0
ce qui équivaut à:
-2a+2b+c=0
-a-b+c=o
Reste plus qu'a résoudre?
Oui. Et puisque tu as un système de deux équations à 3 inconnues, tu pourras donner arbitrairement - à c par exemple - la valeur que tu veux. Ce qui est logique, puisqu'il existe une infinité de vecteurs normaux au plan (BCD).
Désolé... Chez moi le vecteur CD apour coordonnées (1;-1;1) et non pas (-1;-1;1). Pour BC c'est bon.
La méthode est bonne mais le calcul est à refaire.
Oui je me suis rendu compte de mon erreur avant de trouver mon équation! donc normalement elle est juste 