si q=1,
x+p=3
6x+7(2p+1)+8(4-p)=57
soit 6x+6p=18

d'où x=3-p
x=3 , p=0 donc y=1 et z=4

x=3-p : Oui.
L'entier naturel x peut prendre d'autres valeurs que 3

Comment cela ?

En fait, c'est le cas q = 0 qui est plus court.
Mais maintenant que tu as commencé avec q = 1, continue.

Je ne vais plus être disponible un moment.

si q=1 alors p=0 donc x=3, non ?

Tu trouves x+p = 3 pour q = 1.
Pourquoi n'y aurait-il que x = 3 comme possibilité d'entier naturel ?
Bon, là je quitte vraiment.

D'accord.

si x=2 alors p=1 et on a 6*2+7*3+8*3=57, d'où x=2, y=3 et z=3
si x=1 alors p=2 et on a 6+7*5+2*8=57, d'où x=1, y=5 et z=2
si x=0 alors p=3, et on a 7*7+8=57, d'où x=0, y=7 et z=1

pour q=0
z=1-p et x+p=7
si x=7 alors p=0 et on a 6*7+7*1+8*1=57, d'où x=7, y=1 et z=1
si x=6 alors p=1 et on a 6*6+7*3=57, d'où x=6, y=3 et z=0

les autres cas ne sont pas possibles car si x=<5 alors p>=2 et z<0.

D'accord.
Fais un bilan en donnant le nombre de points et leurs coordonnées.
M₁(6,3,0), M₂(7,1,1), M₃(.....

D'accord, merci !!

Les différents points ayant pour coordonnées des entiers naturels et appartenant à P sont :
M1(7,1,1), M2(6,3,0), M3(3,1,4), M4(2,3,3), M5(1,5,2), M6(0,7,1).
Cela nous donne donc au total 6 points.

Très bien
Est-ce cohérent avec le résultat de 2) ?

Oui celui trouvé en 2) correspond au point M2

et tous les autres ont z différent de 0

Donc il n'y a bien qu'un seul point de P ayant pour coordonnées des entiers naturels et appartenant à (O;i,j)

Oui ; ne pas hésiter à faire ce genre de vérification quand c'est rapide.
Ça rassure

D'accord ! Merci infiniment pour votre aide et accompagnement !

De rien, et à une autre fois sur l'île