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polaire géométrie dm je bloque
bonjour à tous, je bloque complètement sur un des exercices de mon DM alors j'ai besoin d'un peu d'aide surtout que je dois rendre ce DM avant la fin de la semaine. merci beaucoup.
On considère le plan euclidien P rapporté a un repère orthonormal direct (0IJ). Soient n un entier naturel non nul et (A, B) appartiennent à P² tels que vectOA = n*vectj et vectOB = m*vecti.:
1. On considère la courbe C d'équation polaire: p = 2nsina
Quelle est la nature de la courbe C? Justifier.
2. Déterminer une équation polaire de la droite (AB).
3. Déterminer le point d'intersection P de C et du segment [AB].
4. Déterminer le point d'intersection Q de (OB) et de la droite tangente à C en P. Faire une figure (on choisira n).
5. Quelle est la nature du triangle BPQ?
6. Calculer les longueurs BP,PQ et QB et montrer que si la longueur AB est un entier alors ces trois longueurs sont entières.
7. Déduire que racine de 2 n'est pas un nombre rationnel.
merci pour ton aide franz! il y a juste un truc que je trouve bizarre: à la calculatrice, je trouvais que C est composée de segments de droites symétriques par rapport à l'axe des ordonnées, s'arrêtant en O(0,0). enfin ça doit être ma calculatrice parce que ton raisonnemt me parait logique.
j'ai quand même quelques interrogations:
-pr la 3ème question, il suffit que je résolve l''équation coordAB=coordC? (je suis pas super claire là).
-et le point A dont tu parles ds la 1ère question, il est différent du point A de l'énoncé? parce que sinon, on fait déjà la troisième quest°.
merci encore et j'espère quelques éclaurcissements svp.
bonjour, j'ai refait les deux premières questions et c'est bon, par contre, pour les suivantes, je n'y arrive pas, est-ce que quelqu'un peut m'aider svp? merci. maude.
l'équation du cercle est p=2nsina et celle de la droite est p=nm/(ncosa+msina) . A l'intersection, 2nsina=nm/(ncosa+msina) soit 2nsina(ncosa+msina)=nm
2n²sinacosa=nm(1-2sin²a) ou encore n²sin2a=nmcos2a soit tan2a=m/n
Or m/n est la tangente de l'angle
Désolé, j'ai mal cliqué... je reprends:
l'équation du cercle est p=2nsina et celle de la droite est p=nm/(ncosa+msina) . A l'intersection, 2nsina=nm/(ncosa+msina) soit 2nsina(ncosa+msina)=nm
2n²sinacosa=nm(1-2sin²a) ou encore n²sin2a=nmcos2a soit tan2a=m/n
Or m/n est la tangente de l'angle OAB, soit OAB=2a. OP est donc perpendiculaire à la bissectrice de OAB donc le triangle OAP est isocèle et AP=OA et les coordonnées cartésiennes de P sont x=nm/
(m²+n²), y=n(1-n/(m²+n²)
4) la tangente en P à C est perpendiculaire à AP donc à AB. Comme OAP est isocèle, le point Q est sur la bissectrice de l'angle OAB (puisque PQ est symétrique de OB par rapport à cette bissectrice) et donc OQ=n*tana où a est tel que tan2a=m/n ; posant t=tana on a donc 2t/(1-t²)=m/n donc mt²+2nt-m=0 dont la racine admissible est t=(-n+(m²+n²))/m
L'abscisse de Q est donc ((m²+n²)-n)n/m
5) PQ est perpendiculaire à PB donc le triangle BPQ est rectangle en P
6) BP=AB-AP=(m²+n²)-n
PQ=OQ=((m²+n²)-n)n/m
QB=OB-OQ=m-((m²+n²)-n)n/m=((m²+n²)-n(m²+n²))/m
donc si (m²+n²)=p entier
BP=p-n, PQ=(p-n)n/m et QB=(p-n)p/m
D'après mes calculs, seul BP est entier, PQ et QB étant seulement rationnels...
Vérifie, mais je ne crois pas m'être trompé...
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