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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Poly caractéristique / racine

Posté par
bouri
07-05-23 à 21:27

Bonsoir à tous,

Je bloque sur l'exo suivant :
On considère une matrice M dont le polynome caractéristique est P(X)=X3-3zX-z2-z avec z un complexe.
On cherche les valeurs de z pour lesquelles M est diagonalisable.
Avec une indication, j'ai utilisé que P'(X) = 3X2-3z
les racines de P' sont donc les y tels que y2=z

Si z=0 alors la matrice M est nilpotente non nulle donc non diagonalisable.

On cherche certaines valeurs pour lesquelles P est scindé à racines simples ?
y est une racine de P et P' ssi y2=z et y3-3y3-y4-y2=0
Donc si z0, la seule solution est y=-1, z=1

Si z=1 alors -1 est racine double de P. P=(X+1)2(X-2) mais en étudiant les sous espaces propres, P est quand même diagonalisable

Par contre si z1, je ne vois pas quelle(s) valeur(s) sont racines de P et pas de P'

Merci d'avance
Bonne soirée

Posté par
bouri
re : Poly caractéristique / racine 07-05-23 à 21:53

La matrice M est \begin{pmatrix} 
 \\ 0&z&z \\ 1 & 0 & z \\ 1&1&z
 \\ \end{pmatrix}

Posté par
GBZM
re : Poly caractéristique / racine 08-05-23 à 10:25

Bonjour,
Je ne trouve pas le même polybôme caractéristique que toi. Vérifie ton calcul.



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