Bonsoir à tous,
Je bloque sur l'exo suivant :
On considère une matrice M dont le polynome caractéristique est P(X)=X3-3zX-z2-z avec z un complexe.
On cherche les valeurs de z pour lesquelles M est diagonalisable.
Avec une indication, j'ai utilisé que P'(X) = 3X2-3z
les racines de P' sont donc les y tels que y2=z
Si z=0 alors la matrice M est nilpotente non nulle donc non diagonalisable.
On cherche certaines valeurs pour lesquelles P est scindé à racines simples ?
y est une racine de P et P' ssi y2=z et y3-3y3-y4-y2=0
Donc si z0, la seule solution est y=-1, z=1
Si z=1 alors -1 est racine double de P. P=(X+1)2(X-2) mais en étudiant les sous espaces propres, P est quand même diagonalisable
Par contre si z1, je ne vois pas quelle(s) valeur(s) sont racines de P et pas de P'
Merci d'avance
Bonne soirée
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