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polygone
bonjour voila je n'arrive pas a faire dette exercice pourriez vous m'aider et m'expliquer.
pour la figure c'est un cube avec un triangle qui passe par ACG
D_____I___________C
A________________B
E________________H
F________________G
soit un cube de coté 4 et I est un point du segment [CD]
on pose DI=x
P est le plan passant par I parrallele au plan (ACG)
1) pour x=1 construire l'intersection de P avecles faces du cube. Cette intersection est un polygone. calculer son périmetre et son aire
2) cas général. le plan P coupe les faces du cube suivant un polygone
calculer son périmetre p(x) et son aire A(x) en fonction de x
3) donner les valeurs minimale et maximal de A
merci d'avance
s'il vous plait aider moi c'est vraiment urgent c'est pour demain et je n'y arrive pa du tous
merci trés fort d'avance
personne dechez personne ne veut venir a mon secours
ps: en encore une mauvaise note une trois trois
bonjour
permettez moi de vous répondre.
Choisissez comme repère orthonormé (D,i,j,k)
avec i parallèle à DC
j parallèle à DA
kparallèle à DE
Dans ce repère les coordonnées des sommets du triangle CAG sont:
C(4,0,0) ; A(0,4,0) et G(4,4,4)
AC=(4,-4,0) et AG=(4,0,4)
le plan du triangle CAG est donné par l'équation:
det(AM,AC,AG)=0
en développant les calculs j'ai trouvé: X+Y-Z=4
Ce plan CAG a pour vecteur normal n(1,1,-1)
le plan (P) est l'ensemble des points M tels que:
n.(IM)=0 ; le produit scalaire de n et Im est nul car (P) est parallèle au plan (CAG).
en developpant les calculs de n.IM=0 vous trouvez l'équation du plan (P):
X+Y-Z=x (P) avec 0<=x<=4
1) pour x=1 le plan (P) coincide avec le plan (CAG) le polygone est le triangle CAG.
ses cotés sont CA, AG et GC sont égaux et ont pour longueur 4.rc(2) chacun. rc() désigne la racine carré.
C'est donc un triangle équilatéral.
donc son périmètre est P=12rc(2) et sa surface est A=8.rc(3).
2)Pour cette question nous alons chercher les points d'intersection du plan (P) avec chaque cotés du cube.
(P)inter (DCE) : Y= 0 et X-Z=x
les points d'intersection sont I(x,0,0) et J(0,0,-x)
J n'est retenu car il est à l'extérieur du cube.
--->(P)inter (DCA) : Z= 0 et X+Y=x
les points d'intersection sont I(x,0,0) et K(0,x,0)
les deux points sont retenus car ils appartiennent au cube.
--->(P)inter (DAE) : X= 0 et Y-Z=x
les points d'intersection sont K(0,x,0) et L(0,0,-x)
L n'est retenu car il est à l'extérieur du cube.
--->(P)inter (ABG) : Y= 4 et X-Z=x-4
les points d'intersection sont M(x-4,4,0) et N(0,4,4-x)
M n'est retenu car il est à l'extérieur du cube.
--->(P)inter (BCG) : X= 4 et Y-Z=x-4
les points d'intersection sont O(4,x-4,0) et P(4,0,4-x)
O n'est retenu car il est à l'extérieur du cube.
--->(P)inter (EFH) : Z= 4 et X+Y=x+4
les points d'intersection sont Q(0,x+4,4) et R(x+4,0,-4)
Q et R ne sont pas retenu car ils sont à l'extérieur du cube.
le polygone recgerché est donc : IKNPI avec
I(x,0,0); K(0,x,0); N(0,4,4-x) et P(4,0,4-x)
les cotés du polygone sont porté par les vecteurs:
IK=(-x,x,0)
KN=(0,4-x,4-x)
NP=(4,-4,0)
PI=(x-4,0,x-4)
la longueur des cotés est donc:
||IK||= x.rc(2)
||KN||= (4-x).rc(2)
||NP||= 4.rc(2)
||PI||= (4-x).rc(2)
le prérimètre du polygone est donc: p(x)= (12-x).rc(2)
pour calculer la surface du polygone est celle du parallélogramme IKNP.
A(x)=||IK ^ KN||; norme du produit vectoriel.
IK ^ KN= (xi-xj)^ ((4-x)j+(4-x)k)
= x(4-x)i^j+x(4-x)i^k-x(4-x)j^j-x(x-4)j^k
= x(4-x)[k-j-i]
donc
A(x)=||IK ^ KN||
= x(4-x)||k-j-i||
= x(4-x)rc(3) ; car x(4-x)>0
vérification pour x=4 on a A(4)=12.rc(3)=A déjà calculée en 1).
3) pour trouver les minimas et maximas de A(x)vous étudiez ses variations.
A'(x)= 2(2-x)rc(3)
A'(x)=0 ssi x=2 et pour x=2 A(2)=4rc(3). c'est le maximum de A(x).
son minima est obtenu pour x=0 ou x=4 et vaut zéro.
voila pour solution détaillée.
bon courage
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