polygone régulier

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polygone régulier
Posté par 
alb12  28-12-22 à 18:36
Salut, 

On considère un polygone régulier à n côtés inscrit dans le cercle trigonométrique. 

Calculer la somme des carrés des distances entre un sommet et les autres sommets. 

Planquez vos solutions 
 Posté par 
GBZMre : polygone régulier  28-12-22 à 18:52
Bonsoir,

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 :

 Posté par 
alb12re : polygone régulier  01-01-23 à 11:15
Meilleurs voeux, 

Pas d'autres démonstrations ? 
 Posté par 
Imodre : polygone régulier  01-01-23 à 12:50
Si on n'aime pas la trigo on peut passer par les vecteurs et produits scalaires .
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La démonstration est immédiate 
Imod
 Posté par 
lakere : polygone régulier  01-01-23 à 12:53
Bonjour,

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 Dans le cas  pair, on peut toujours associer 2 distances comme les côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle dont l'hypoténuse est un diamètre. Il reste une distance correspondant à un diamètre.

Un exemple avec   (3 triangles rectangles et un diamètre) :

 Je n'ai pas regardé de près pour  impair mais on doit pouvoir s'en sortir.

 Posté par 
Ulmierere : polygone régulier  01-01-23 à 14:29
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Les sommets sont les racines n-ièmes de l'unité 

Soient .

Ou bien k = j et dans ce cas la disance  entre les deux points est nulle.

Ou bien , et dans ce cas la distance entre les deux est

En vertu de l'invariance par rotation d'angle , on peut répondre à la question en fixant j = 0. La somme cherchée est

 Posté par 
alb12re : polygone régulier  02-01-23 à 09:05
je m'attendais à une demo avec complexes/conjugues chers à lake ou carpediem. 

Je suis déçu 
 Posté par 
carpediemre : polygone régulier  02-01-23 à 09:48
salut

alb12 ne sois pas déçu : je suis passé par les complexes (quasiment comme Ulmiere)

 Posté par 
Imodre : polygone régulier  02-01-23 à 10:14
Et la mienne , elle trop simple :

Imod
 Posté par 
alb12re : polygone régulier  03-01-23 à 18:14
rapide en effet 

il faut peut etre montrer que la somme des vec(OAi) est nulle. 
 Posté par 
Imodre : polygone régulier  03-01-23 à 18:23
O n'est-il pas le centre de gravité du polygone ?

Imod
 Posté par 
alb12re : polygone régulier  03-01-23 à 18:43
oui mais pourquoi (au lycee) ? 
 Posté par 
Imodre : polygone régulier  03-01-23 à 19:11
Je ne sais rien des programmes de lycée mais  devrait suffir pour conclure .

Imod
 Posté par 
alb12re : polygone régulier  03-01-23 à 22:27
C'est le point qui me chagrine dans ta demo. 

J'ai du mal à voir comment faire en Premiere. 

Pour l'exercice au depart je voyais une demo avec les complexes (Terminale)

 Posté par 
Imodre : polygone régulier  04-01-23 à 10:33
Tu voulais des complexes , j'ai bien compris 

Et si les  sont les sommets d'un polyèdre régulier inscrit dans une sphère de rayon 1 ?

Imod
 Posté par 
alb12re : polygone régulier  04-01-23 à 10:37
je ne veux rien en particulier c'est la multiplicite des solutions qui m'interesse.

Pour le nouveau probleme que tu evoques ouvre un nouveau sujet sinon il va passer aux oubliettes. 
  Posté par 
Imodre : polygone régulier  04-01-23 à 10:39
Oublie les complexes et tu verras que c'est le même problème .

Imod