Bonjour,

Bonjour,
un polygone équilatéral n'est pas forcément régulier.

Contrairement au polygone régulier , le polygone équilatéral n'a pas nécessairement ses angles égaux

Imod

Bien compris  

Bonsoir,
on a tous les losanges construits à partir de triangles rectangles à cotés entiers sur le modèle de mathafou.
On a aussi des hexagones construits à partir de ces triangles.

on peut généraliser et arriver au polygone à n côtés où n est un diviseur du nombre de points à coordonnées entières du cercle de centre O et de rayon R (ici avec R=5)
au plus, avec ce rayon là, on arrive à un dodécagone.
aller au delà nécessitera un côté=R plus grand



intéressant sera de trouver un nombre impair de côtés, ou d'en prouver l'impossibilité.

j'ai rayé "diviseur"
en particulier 10 n'est pas un diviseur de 12 !

@Mathafou : tu es bien parti mais pourquoi toujours 3-4-5 ?

C'est l'autre côté qui est intéressant .

Imod

pourquoi 3-4-5 ? parce que c'est le plus petit

Bonjour,
J'ai travaillé sans voir...
les triangles pythagoriciens de mathafou sont à la base des constructions.
J'ai fait quelques exemples convexes...

On peut en effet multiplier les exemples quand le nombre de côtés est pair . En choisissant des entiers ayant plusieurs décompositions en somme de 2 carrés ,  puis en rangeant correctement les pentes pour la convexité on trouve tous les côtés pairs . Il reste à traiter le cas impair .

Imod

comme ma figure de 13-01-25 à 18:50 le suggère, la question est équivalente à trouver un sous ensemble de somme nulle parmi les vecteurs d'origine O et d'extrémité à coordonnées entières sur un cercle de rayon R.
si R est entier, on a des triplet de Pythagore, alias décomposition de R² en somme de deux carrés (CF Fermat) R² = a² + b²
La somme des vecteurs = 0 se traduit sur une des coordonnées par R = a_i où les a_i sont des solutions (signées) de l'équation précédente

Le plus petit nombre de solutions est 12 (cas de l'exemple R = 5), pour tout R premier de la forme 4k+1 (5, 13, 17, 29 ,,,)
conduisant aux polygone déjà cités à 4, 6, 8, 10, 12 côtés

pour en avoir d'avantage, et espérer avoir un sous ensemble de cardinal impair, il est nécessaire que R contienne plusieurs facteurs premiers 4k+1, éventuellement répétés.
le plus petit étant R = 5² = 25 donnant R² = 625 = 7²+24² = 15²+20² donnant 20 points entiers sur le cercle de rayon 25
le suivant est R = 5*13 = 65
R² = 63²+16² = 39²+52² = 33²+56² = 25²+60² donnant 36 points entiers
etc

de plus il faut traduire "convexe", est-ce toujours possible ?
la réponse est bien entendu oui pour tous les nombres pairs de côtés.

Nous sommes bien d'accord que le cas pair est réglé si on sait qu'on peut trouver des entiers décomposables en autant de sommes de deux carrés qu'on le souhaite ( la convexité ne pose aucun problème ) . Le cas impair ne nécessite aucun calcul et se ramène complètement  à ta boucle qui doit se refermer . Après il faut trouver pourquoi la fermeture est impossible quand le nombre de côtés est impair .

Imod

Dans ces problèmes de parités sur quadrillage il souvent intéressant d'utiliser des coloriages .

Imod