Bonsoir

Méthode de Cardan ?

Oué mais je ne la connais pas ...

Bonsoir à tous

nassoufa > pour montrer que ce polynôme est scindé ou non, tu peux faire une simple étude de fonction.

Kaiser

Pose

Kaiser > Salut

C'est quoi scindé ?

Kévin > un polynôme scindé est un polynôme qui peut se mettre sous la forme d'un produit de polynôme de degré 1.
Mais bon le fait d'être scindé dépend de l'endroit où se place.
Ici, on souhaite savoir si le polynôme est scindé sur (c'est-à-dire que les polynômes de degré 1 dont je parle sont à coefficients réels).
De manière équivalente, être scindé sur revient au même pour le polynôme de n'avoir que des racines réelles (d'où l'étude de fonction).

Kaiser

Bonjour

Si ce polynome est le résultat de la recherche des valeurs propres d'un endomophisme, donne nous la matrice de départ.

Il y a peut-être moyen de mieux s'arranger en effectuant des opérations sur les lignes et les colonnes.

Ce que je trouve aussi étrange c'est que tu parles bien de polynôme caractéristique, et un polynôme caractéristique à pour coeff dominant (-1)^n soit ici (-1)^3 = -1

Donc tu devrais avoir un truc en -X³

Romain

Kaiser poura peut-être confirmé que je ne dis pas de bétises

Merci Kaiser

Salut romain

Salut Kevin

re Romain

Tu ne dis pas de bêtises seulement j'ai remarqué que la définition de polynôme caractéristique pouvait différer selon les profs.
Pour ma part les profs que j'ai eus prenaient pour définition det(A-XI) mais d'autres prennent det(XI-A) pour justement se débarrasser de ce facteur .

Kaiser

Kévin >

Ah oui j'y avais pas pensé !! :D

Moi mon prof a pris det(A-XI) comme toi

C'est laid det(XI-A)

Merci pour la réponse ^^

Merci ..

pour  infophile : avec le changement que tu m'as indiqué je trouve ça :
P(X) = x^3 + 16x^2 + 768/9x + 4096/27

pour kaiser : j'ai dérivé le polynome j'ai trouvé deux racines je crois que c'est beaucoup plus rapide .. donc elle est plus efficace de ladite méthode de Cardan (parceque j'ai cherché sur wikipédia elle a l'air trop compliqué !

pour lyonnais : voici ma matrice

5   1   1    -1

1   5   1    -1

1   1   5    -1

-1  -1  -1    5


si vous avez des idées .. je suis preneuse ..

Romain >
nassoufa > ta matrice est symétrique réelle donc elle est diagonalisable et donc le polynôme caractéristique est scindé.

Kaiser

J'ai bien fait de te demander la matrice :

Déjà une chose : matrici 4x4 donc polynome caractéristique de degré 4.

Voici les calculs de Mathématica, avec les sous espaces propres et tout :



Romain

Zut j'avais fais une erreur de frappe en fait mon polynome c'était ce que j'avais donné la haut multiplié par (X-4)

tu pêux vérifié avec ça stp?

Nan, ton polynôme n'est pas bon ...

ay ay

Merci bien ...

sinon pour ce que j'avais demandé à kaiser à propos de l'étude de la fonction j'ai dérivé et trouver de racines .. que peut en déduire .. que le polynome est scindé ?

Euh personnelement après changement de variable j'aboutis à :

des racines de la dérivée ? ça ne suffit pas.
Il faut étudier le signe de la dérivée pour pouvoir étudier les variations de la fonction.
Sinon, si on ne veut pas se fatiguer, on peut aussi utiliser ce que je propose dans mon message de 22h51.

Kaiser

pour infophile, tu as raison .. mais je suis fatiguée j'ai fais beaucoup d'algèbre ce weekend ... faut pas trop m'en vouloir lol

kaiser : Ah oué! j'avais pas vu cette méthode (très très rapide ! ) ... tu sais .. une démonstration ne me dérangerais pas .. et toi?

C'est une conséquence du théorème Spectral ...

non ?

je suis en deug 2 .. je n'ai pas vu le thm spectral encore

Dans ce cas, on reste sur la méthode étude de fonction.

Kaiser

C'est vrai que c'est moche det(XI-A) (sûrement l'anglophone)

Merci de confirmer Cauchy :D

f(x) = X^3 - 16X^2 +82 X - 138
f '(x) = 3x² - 32x + 82

f '(x) = 0 pour x = (16 +/- V10)/3

f(x) a un maximum en x = (16-V10)/3 ,ce max vaut f((16-V10)/3) = -1,7... < 0
f(x) a un minimum en x = (16+V10)/3 ,c min vaut f((16+V10)/3) = -6,4... < 0

--> Il y a une et une seule solution réelle à f(x) = 0 puisque les valeurs du max et du min de f(x) sont de même signe.
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De manière générale:

Si f'(x) = 0 n'a pas de solution ou bien si le max et le min de f(x) ont des valeurs de même signe, il y a 1 seule solution réelle à f(x) = 0

Si le max et le min de f(x) ont des valeurs de signe contraire, il y a 3 solutions réelles distinctes à f(x) = 0

Si Soit le max, soit le min vaut 0, alors il y a 2 solutions réelles à f(x) = 0, ou plus exactement 3 solutions réelles mais dont 2 sont identiques.
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Sauf si j'ai dit des bêtises.  

Non y a pas de bêtises là .. je te remercie J-P

et je remercie tout ceux qui ont participé à ce fil !

Pour ma part, je t'en prie nassoufa_02