Bonsoir

Euh, il me semble que ni la surjection, ni C[X] ne soient vu en terminale (S en particulier) donc trouver une solution de ce niveau me semble compliqué, à moins de réarranger l'énoncé.

oui tu as raison ,en fait je peux même simplifier l'énoncé (et le renforcer) : disons soit la fonction définie pour tout  z  dans  C  par :

on suppose que pour tout rationnel  r , P(r) est rationnel,  montrer que tous les  a_i sont rationnels.

lolo

Dans ce nouvel énoncé tu n'utilise pas la surjectivité du polynome !
De plus il faut peut-être préciser si les coefficients a_k peuvent être complexes (ce qui est le cas dans C[X])

Ce qui suit est-il juste, et acceptable en Terminale ?

Récurrence sur le degré du polynôme.

Propriété PP(n) : "si P polynôme sur C de degré n envoie les rationnels sur les rationnels, alors tous ses coefficients sont rationnels".

PP(0) est vraie.

Supposons PP(n) vraie et tentons de montrer PP(n+1).
Soit P un polynôme de degré n+1 sur C envoyant tous les rationnels sur des rationnels.
P(z) = a(0) + ... + a(n+1)z^(n+1)
En particulier, P(0) est rationnel donc a0 est rationnel.
Donc (P(z)-a0)/z envoie également les rationnels sur des rationnels.
Or (P(z)-a0)/z = a(1) + ... + a(n+1)z^n de degré n
D'après l'hypothèse de récurrence, a1, ..., a(n+1) sont rationnels.
Finalement, tous les coefficients de P sont rationnels. PP(n+1) est vraie.

J'ai fait cela un peu vite, mais cela pourrait être l'idée.

Nicolas

Je n'utilise pas la surjectivité. Quelque chose m'aurait-il échappé ?

En fait je ne suis pas sûre que la surjectivité de Q dans Q soit indispensable (à confirmer...)

Bonjour,

Oui pour le deuxième énoncé la surjectivité n'intervient effectivement pas !

Pour Nicolas : j'avais fait ça aussi mais il y a un piège que je n'arrive pas à corriger : (P(z)-a0)/z  envoie les rationnels NON NULS dans les rationnels mais 0 ?  qui est génant car c'est celui utilisé dans la récurrence !

lolo

lolo217, je suis tombé dans le piège !