Niveau Maths sup

polynome

Posté par rust (invité) 12-01-06 à 21:05

bonsoir,

comment determiner tous les polynomes P tel que X.P''-P'=0 ?

Merci de votre aide

Posté par re : polynome 12-01-06 à 21:39

En passant par là en vitesse, je remarque que X.P''-P' est la dérivée de X.P'+k où k est une constante... après désolé je n'ai pas le temps de l'aider, peut-être que ma remarque t'aidera, sinon excuse-moi si j'ai déliré

Posté par re : polynome 12-01-06 à 21:40

soit Q=P'

Cela revient à chercher Q tel que X.Q'-Q=0

Soint $n$ le degré de Q et $a_n$ son coefficient dominant.

$Q=a_n.X^n+R$
$Q^'=na_n.X^{n-1}+R'$
$X.Q^'=na_n.X^n+X.R'$
$X.Q^'-Q=(n-1)a_n.X^n+(X.R'-R)$ avec $\deg(X.R'-R)<n$

Comme le polynôme $X.Q^'-Q=0$ , tous ses coefficients sont nuls et par conséquent $(n-1)a_n=0$ donc $n=1$
Donc $\exists (a,b)\in{\mathbb R}^2$ tels que $Q=aX+b$

$X.Q^'-Q=X.a-(aX+b)=b=0$ donc $Q=aX$ donc $3$P=\frac a 2 X^2+c=\alpha X^2+\beta$

Posté par re : polynome 12-01-06 à 21:41

ah non pardon, mais c'est le numérateur de la dérivée de -X/P'

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