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Polynôme
Bonsoir cet éxo me pose problème, j'aurai besoin d'aide SVP :
a est un reel strictement positif fixe.
X êtant l'indeterminee, on se propose d'etudier les couples (A, B) de polynômes reels, premiers entre eux, et verifiant la relation (1) avec :
(1) X(A'B-AB')+X(A2-B2)+aAB=polynôme nul
(où A' et B' designent les polynômes dérivés de A et B).
1°) On suppose qu'un tel couple (A, B) éxiste. Montrer alors :
a) X divise un et un seul des polynômes A ou B
b) d° A = d° B, et les coefficients dominants de A et B sont egaux ou opposes
c) Si X divise B, alors B - A' est divisible par A, et donc s'écrit : B-A'=
A avec =1 ou -1.
d) En supposant toujours que X divise B, prouver alors que (1) peut successivement s'ecrire :
(2) X(A-B')+aB=XB
(3) X ( 2A'+ A") = a(A+A'), A" désignant le polynôme dérivé seconde de A
Deduire de cette derniére relation que a=2n, ou n = d° A.
2°) Inversement, soit B un polynône reel non nul divisible par X et soit a un entier pair, avec a = 2 n > 0 et n = d° B.
Soit alors A tel que B - A' = A et A verifiant la relation (3).
Verifier alors que :
a) pour tout k, 2
kn, XA(k)= 2(n -k+2)A(k-2)+(2n-k+2-2X)A(k-1)
b) X ne divise pas A
Montrer que la relation (1) est satisfaite.
Soit alors D un polynôme divisant a la fois A et B. Montrer alors que D est forcément constant, et que donc A et B sont premiers entre eux.
3°) Expliquer pourquoi it existe un unique polynôme unitaire A (de degre n) vérifiant la relation (3) avec =1. Expliciter A si n = 2.
4°) Prouver que si a est un entier naturel pair (et non nul), it existe bien au moins un couple (A, B) de polyneimes reels non nuls, premiers entre eux, et satisfaisant a la relation (1).
Merci d'avance pour votre aide
1a
X(A'B-AB'+A²-B²)=-aAB
Doonc X \ AB
Or A et B premier entre eux, donc X \ soit A, soit B
1b
Soit anxn et bpxp les coeff dominants de A et B, avec n>p, et bien an et bp différents de 0.
On sait que X \ A ou B
On a donc
A'B-AB'+A²-B²+aAB/X=0
Le degré le plus haut est celui de A², qui est de 2n 
an=0 FAUX
donc soit A'B, AB', B² ou AB/X est de coeff 2n afin d'annuler le terme de plus haut degré
Avec n>p, ce n'est pas possible n=p
an²x2n-bp²x2n=0
d'où an²=bp²
an=+/- bp
CQFD
1c.
X \ B alors B=QX.
Donc (-A'B+AB'-A²+B²)=aAB/X=aAQ
B(B-A')=A(aQ-B'+A)
A \ B(B-A')
A \ (B-A') car A et B premier entre eux
Il existe alors un polynome Q tel que B-A'=AQ
Si A et B de degré n alors B-A' de degré n deg(Q)=0
Q est une constante.
Or les coeffs dominants de A et B sont égaux ou opposés, donc Q=+/-1
CQFd
1d.
X\B B-A'=A (question 1c)
En remplacant dans (1)
X(-B(B-A')+A(A-B'))+aAB=0 (1)
X(-B+(A-B'))+aB=0 (division par A)
X(A-B')+aB=BX (2)
B-A'=A
On remplace dans (2)
B par A+A'
et B' par A'+A''
On remarque que ²=1 car =+/-1
et on ontient le relation (3)
en ragardant les degré des polynomes, on montre aisément que deg(X)=1
et en regardant le coeff de plus haut degré et en identifiant de chaque coté
on tombe sur 2nan=aan
si on note anxn le coeff de plus haut degré
d'où a=2n
Voila pour la partie 1 
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