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deux cas:
k = 2q, donc on a 4q(2q+1)
q et 2q+1 sont premiers entre eux, il faut donc que q et 2q+1 soient carré
2q^2+1 = n^2 est une équation de Pell-Fermat, donc infinité de solutions.
k+1 = 2q, on obtient 4q(2q-1)
Pareillement, 2q^2-1 = n^2 est une équation de Pell-Fermat.
Pour commencer la liste: 0, 1, 8, 49, ...

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donc n est pair

n = 2p donc



tout revient à chercher quel nombre triangulaire est un carré ... s'il en existe ...

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On a soit   pair, soit pair.
Premier cas,
Dans ce cas, on étudie
Comme et sont premiers entre, il faut que et soient tous deux des carrés parfaits.
On peut donc écrire et
En réarrangeant l'expression, on obtient , qui est une équation de Pell-Fermat.
Citons quelques couples solutions: (0,1), (2,3), (12,17)...
ce qui donne pour valeurs de : 0, 8, 288...
Il y a une infinité de solutions de cette forme.
Premier cas,
Dans ce cas, on étudie
En suivant exactement la même méthode, on trouve  , qui est une équation de Pell-Fermat.
Citons quelques couples solutions: (1,1), (5,7), (29,41)...
ce qui donne pour valeurs de : 1, 49, 1681...
De même, il y a une infinité de solutions de cette forme.

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A part 0 et 1

8  49 288 1681 9800 57121