Bonjour,
Qu as tu déjà fait ou cherché ?

J'ai pu montrer que P(2)=P(-2) si P(0) non nul

J'ai essayé de dériver les deux expressions

Le polynome nul vérifie l'équation

Pourquoi P(2)=P(-2) si P(0)?
Sinon tu peux commencer par voir ce qu'il se passe si P est de degré 0 puis sinon remplacer P par a_ixⁱ+a₀
avec la somme de 1 à n ou n serait le degré du polynome et voir si tu obtiens une valeur pour a₀

P(1)=P(0)P(2)=P(0)P(-2) en utilisant la relation pour x=1 et x=-1
Je sais aussi que a_n=1 par identification

Je suppose que c'était a₀=1  ; )

Je n'ai pas fait les calculs donc je ne peux pas te garantir que cela fonctionnera mais je testerai ensuite les polynômes de degré 1 de la forme a₁x+1 et voir si tu peux identifier a₁ et avoir par la même occasion une idée de ce que seront les a_i

salut

le polynome nul et le polynome 1 vérifient l'équation !!!

et on peut s'intéresser aussi au coefficient dominant !!!

Le coefficent dominant a_n=1 si on suppose P non nul car  a_nx²ⁿ+...=a_n²x²ⁿ+... D'où a_n=a_n²

Bonjour  djaraf,

Le terme en du produit provient du produit des monômes en de l'un des polynômes par ceux en de l'autre.

Tes polynômes sont sur quel corps ?

Bonjour  
L'égalité dit que si a  est racine de p  alors (a+1)^2. Ainsi la suite définie par
   et est une suite de racine de p.
On en déduit donc que la seule solution est le polynôme nul.

ou le polynôme constant.  

égal à 1 ou -1

parce que l'équation n'admet pas de solution

Bonjour larrech c'est dans le corps des nombres reels
Le terme de plus haut degre de P(x²) est a_nx²ⁿ et le terme de plus haut degres de P(x-1)P(x+1) est a_n²x²ⁿ par identification on obtient  a_n=1 ou 0

Bonjour larrech c'est dans le corps des nombres reels
Le terme de plus haut degre de P(x²) est a_nx²ⁿ et le terme de plus haut degres de P(x-1)P(x+1) est a_n²x²ⁿ par identification on obtient  a_n=1 ou 0

Bonjour xz19 belle remarque les polynomes  solutions sont 0 et 1
Cependent
Le polynome constant - 1 ne vérifie pas l'egalite
Merci à tous de votre aide

@djaraf Oui, je me suis mélangé les pinceaux...

Mais xz19 et si le polynome ne s'annule jamais

Mon raisonnement reste valable car si p n'est pas constant il existe au moins une racine (complexe) quitte à adapter.

En effet,   si a est racine de p  on a  (a+1)^2  mais aussi (a-1)^2 racine de p.
Il est facile de voir que l'une des deux racines   (a+1)^2 et (a-1)^2  est de module strictement supérieur à module de a. Ainsi on obtient  une   infinité de racines de module  croissant pour p. Mais ça c'est impossible...

Bien claire XZ19 finalement les seuls polynomes solutions sont 0 et1
Merci à tous de votre aide