Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths spé AlgèbreTopics traitant de algèbre [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau maths spé
Partager :

polynome

Posté par
termina123 22-10-20 à 00:08

Bonsoir
Question :  Montrer que F=\{P\in \mathbb{R}[X],\;P(0)=P(1)=0\} est un sev de \mathbb{R}[X]

J'ai essayé comme ça :
F\subset \mathbb{R}[X]
O\in F \;donc\; F\neq \varnothing
La somme de deux polynômes s'annulant en 0 et en 1 est toujours un polynôme qui s'annule en 0 et en 1.
La multiplication par un scalaire d'un polynôme qui s'annule en 0 et en 1 est toujours un polynôme qui s'annule en 0 et en 1.
Donc F est stable par combinaisons linéaires
Donc F est un sev de \mathbb{R}[X]

Je sais pas si c'est correct d'écrire ça car je sais pas comment écrire un polynôme de \mathbb{R}[X]

Posté par Profil Ramanujanre : polynome 22-10-20 à 00:19

Bonsoir, selon moi ce n'est pas une démonstration.

Soit P \in \R[X] tel que P(0)=P(1)=0 alors \exists Q \in \R[X] tel que P(X)=X(X-1) Q(X)

Tu peux continuer ainsi.

Posté par Profil Ramanujanre : polynome 22-10-20 à 00:21

Un polynôme de \R[X] est un polynôme qui s'écrit :

P(X)=\sum_{k=0}^n a_k X^k avec a_n \ne 0

Posté par
termina123re : polynome 22-10-20 à 00:25

Merci j'ai trouvé avec ton astuce

Posté par
termina123re : polynome 22-10-20 à 00:32

Citation :
Un polynôme de \R[X] est un polynôme qui s'écrit :

P(X)=\sum_{k=0}^n a_k X^k avec a_n \ne 0

Ce ne sont pas les polynômes de \mathbb{R}_{n}[X] que tu as écris ? Par exemple X^{n+1} appartient aussi à \mathbb{R}[X]

Posté par
Sugakure : polynome 22-10-20 à 00:42

Bonsoir termina123,  la rédaction que tu as écrit  dans ton premier message est correcte.
Concernant l'écriture d'un polynôme de \mathbb{R}[X] : le polynôme X^{n+1} appartient bel et bien à  \mathbb{R}[X] cependant, quand on parle d'un polynôme non nul de \mathbb{R}[X] il admet un degré et ce degré va jouer le rôle de n dans la formule que t'as donné Ramanujan.

Posté par
jsvdbre : polynome 22-10-20 à 00:49

Ramanujan @ 22-10-2020 à 00:19

Bonsoir, selon moi ce n'est pas une démonstration.

Si, c'est une démonstration et je lui mets tous les points.
Y'a juste que tu n'aimes pas les démonstrations rédigées EN FRANÇAIS et que tu préfères les formules brutes qui permettent de masquer (ça tombe bien c'est d'actualité) une certaine pauvreté de compréhension du langage.

Posté par
termina123re : polynome 22-10-20 à 01:32

Sugaku @ 22-10-2020 à 00:42

Bonsoir termina123,  la rédaction que tu as écrit  dans ton premier message est correcte.
Concernant l'écriture d'un polynôme de \mathbb{R}[X] : le polynôme X^{n+1} appartient bel et bien à  \mathbb{R}[X] cependant, quand on parle d'un polynôme non nul de \mathbb{R}[X] il admet un degré et ce degré va jouer le rôle de n dans la formule que t'as donné Ramanujan.

Oui un polynôme non nul de \mathbb{R}[X] admet un degré sinon c'est pas un polynôme. Mais écrire cette somme P(X)=\sum_{k=0}^n a_k X^k avec an non nul et P non nul ça veut dire que P est de degré n, et pas que P est de degré au plus n.
Si P était de degré au plus n on aurait pas l'hypothèse an non nul c'est bien ça ?

Posté par
lionel52re : polynome 22-10-20 à 01:37

Ramanujan arrête embrouiller ceux qui demandent de l'aide... sa démo est parfaite et je vois pas pourquoi tu cherches à factoriser P dans cette question par X(X-1) ça n'apporte rien...

Posté par
termina123exercice polynôme 22-10-20 à 14:54

Bonjour à tous
Soit F=\{P\in \mathbb{R}[X],\;P(0)=P(1)=0\}, montrer que  \mathbb{R}[X]=\mathbb{R}_{1}[X]\oplus F
J'ai essayé par analyse synthèse : on suppose l'existence des solutions, on trouve des conditions nécessaires puis on montre leur unicité :

Analyse: Soit R\in \mathbb{R}[X], supposons qu'il existe P\in \mathbb{R}_{1}[X] et Q\in F tels que R=P+Q
Posons P(X)=a+bX,\;(a,b)\in\mathbb{R}^{2}
R(X)=P(X)+Q(X)\\R(0)=a\;et\;R(1)=a+b

Donc
P(X)=R(0)+X(R(1)-R(0))\\Q(X)=R(X)-R(0)-X(R(1)-R(0))

Synthèse: P+Q=R
P est de degré maximum 1 donc il appartient à \mathbb{R}_{1}[X ]
Q\in \mathbb{R}[X] et Q(0)=Q(1)=0 donc Q\in F
Finalement \forall R \in \mathbb{R}[X],\exists !(P,Q)\in \mathbb{R}_{1}[X]\times F,\;R=P+Q
Donc \mathbb{R}[X]=\mathbb{R}_{1}[X]\oplus F

Je viens demander si j'ai pas fait n'importe quoi



*** message déplacé ***

Posté par
Zormuchere : exercice polynôme 22-10-20 à 15:01

salut
ça a l'air très bien

*** message déplacé ***

Posté par
GBZMre : exercice polynôme 22-10-20 à 15:03

Bonjour,

As-tu des raisons de douter de toi ?

*** message déplacé ***

Posté par
termina123re : exercice polynôme 22-10-20 à 15:36

GBZM @ 22-10-2020 à 15:03

Bonjour,

As-tu des raisons de douter de toi ?

Maintenant non

*** message déplacé ***

Posté par
carpediemre : exercice polynôme 22-10-20 à 15:38

salut

pourquoi ne pas poursuivre ici polynome puisque ça semble être la suite logique ....

ensuite dans la même idée de ce fil (et si tu connais) tu pouvais alors :

remarquer que tout polynome P de F s'écrit P(x) = x(x - 1)Q(x)

donc en effectuant la division euclidienne d'un polynome P de R[x] quelconque par x(x - 1) on obtient que P(x) = x(x - 1)Q(x) + R(x)

et la théorie nous dit que :

1/ R R1 [x]
2/ cette écriture est unique (la division euclidienne est unique)

ce qui donne immédiatement le résultat demandé ...



*** message déplacé ***

Posté par
termina123re : exercice polynôme 22-10-20 à 15:58

carpediem @ 22-10-2020 à 15:38

salut

pourquoi ne pas poursuivre ici polynome puisque ça semble être la suite logique ....

ensuite dans la même idée de ce fil (et si tu connais) tu pouvais alors :

remarquer que tout polynome P de F s'écrit P(x) = x(x - 1)Q(x)

donc en effectuant la division euclidienne d'un polynome P de R[x] quelconque par x(x - 1) on obtient que P(x) = x(x - 1)Q(x) + R(x)

et la théorie nous dit que :

1/ R R1 [x]
2/ cette écriture est unique (la division euclidienne est unique)

ce qui donne immédiatement le résultat demandé ...


Je vois merci, et désolé à tous pour le topic doublon

*** message déplacé ***

Posté par
malou Webmasterre : polynome 22-10-20 à 16:29

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q03 - Pourquoi ne faut-il pas faire du ''multi-post'' ?

Posté par
termina123re : polynome 22-10-20 à 19:53

J'ai montré que (L_{1},...L_{n}) est une base de \mathbb{R}_{n-1}[X] et qu'un polynôme de \mathbb{R}_{n-1}[X] s'écrit P(X)=\sum_{i=1}^{n}{P(a_{i})L_{i}(X)} avec (a_{1},...,a_{n})\in\mathbb{R}^{n}, on les suppose distincts 2 à 2 et pour i \in \{1,...,n\}, on pose : L_{i}(X)=\prod_{j=1, j\neq i}^{n}{\dfrac{X-a_{j}}{a_{i}-a_{j}}}(polynômes d'interpolation de Lagrange)

Question suivante : Que vaut \sum_{i=1}^{n}{L_{i}(X)} ?
On pose P(X)=\sum_{i=1}^{n}{L_{i}(X)}
\forall i \in [1,n],\;P(a_{i})=1 et deg(P)=n-1
Et la je sais pas quoi faire avec ça

Posté par
GBZMre : polynome 22-10-20 à 20:11

Que peux-tu dire du polynôme P-1 ?

Posté par
termina123re : polynome 22-10-20 à 20:38

Le polynôme p-1 a n zéros alors qu'il est de degré au maximum n-1 donc c'est le polynôme nul et donc P=1

Posté par
lafol Moderateurre : polynome 24-10-20 à 00:19

Bonjour
pour la première question tu pouvais aussi remarquer que F est l'intersection de deux noyaux de formes linéaires, et donc de deux sous espaces vectoriels de IR[X], et donc en est lui-même un sev
(les formes linéaires sont P\mapsto P(0) et P\mapsto P(1))

Posté par
lafol Moderateurre : polynome 24-10-20 à 00:21

sinon, pour la dernière question, n'y a-t-il pas contradiction entre deg(P) = n-1 et P = 1 ?

Posté par
termina123re : polynome 24-10-20 à 02:06

Bonjour
Si tu parles  du message du 22 octobre à 19h53, tu as raison il y'a erreur et ce serait plutôt P est de degré maximum n-1


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !