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Niveau Prepa (autre)
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polynome

Posté par
Roon
21-01-21 à 19:52

bonjour je dois simplifier l'ecriture suivant :
a=\sqrt[3]{\frac{5\sqrt{17}+13}{2}}-\sqrt[3]{\frac{5\sqrt{17}-13}{2}}
=(\frac{5\sqrt{17}+13}{2})^{1/3}-(\frac{5\sqrt{17}-13}{2})^{1/3}
apres j'ai penser a separé la fraction mais je sais pas si c'est une bonne idéé

Posté par
Glapion Moderateur
re : polynome 21-01-21 à 20:29

Bonsoir, pose x = [(517+13)/2]^(1/3) et y = [(517-13)/2]^(1/3)

puis calcule a3 = x^3-y^3+ 3xy(y-x) = .....
tu dois trouver 1 à la fin.

Posté par
Roon
re : polynome 21-01-21 à 21:20

je me retouve avec
13+12(517-13)/2]^(1/3))-(517+13)/2]^(1/3)
comment e simplifie la derniere fraction
en effet le resultat est bien 1
merci d'avance

Posté par
Glapion Moderateur
re : polynome 22-01-21 à 11:22

Tu as donc a3 = x - y = 13 - 12(x-y)
déduis-en x-y

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : polynome 22-01-21 à 11:24

Bonjour,
Je réponds en l'absence de Glapion.
Tu trouves \; a3 = 13 +12??
Tente de reconnaitre quelque chose dans le " ?? ".

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : polynome 22-01-21 à 11:25

Désolée Glapion !

Posté par
Razes
re : polynome 22-01-21 à 16:36

Bonjour,

Je suis curieux pour savoir comment Roon a trouve le nombre 517.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : polynome 22-01-21 à 16:56

Je pense que les ont sauté. Lire 517

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : polynome 23-01-21 à 08:25

Bonjour,
En reprenant les notations de Glapion, je propose une suite pour utiliser \; a = x-y = 1 \; :

En déduire une écriture plus simple de x et y. C'est à dire de la forme \; u+v\sqrt{17} , où u et v sont rationnels.

Rappel : \; x = \sqrt[3]{\dfrac{5\sqrt{17}+13}{2}} \; et \; y = \sqrt[3]{\dfrac{5\sqrt{17}-13}{2}}

Posté par
ciocciu
re : polynome 23-01-21 à 09:30

Bonjour ...y'a un truc qui m'échappe ...
En développant a3 on arrive effectivement à 13+12(y-x).  Mais à quel moment on trouve =1?

Posté par
matheuxmatou
re : polynome 23-01-21 à 09:42

bonjour

personnellement je dirais que

\dfrac{5\sqrt{17}+13}{2} = \dfrac{20\sqrt{17}+52}{8}=\dfrac{17\sqrt{17} + 3 \times 17+ 3 \sqrt{17} + 1}{8}

peut aider !

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : polynome 23-01-21 à 09:54

Je réponds à ciocciu :

On a y-x = a.
On a trouvé a3 = 13+12(y-x)
Ça va peut-être faire tilt

Posté par
matheuxmatou
re : polynome 23-01-21 à 10:00

bon, je complète...


\dfrac{5\sqrt{17}+13}{2} = \dfrac{20\sqrt{17}+52}{8}=\dfrac{17\sqrt{17} + 3 \times 17+ 3 \sqrt{17} + 1}{8} = \left(\dfrac{\sqrt{17}+1}{2}\right)^3

... à l'avenant pour l'autre

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : polynome 23-01-21 à 10:15

Oui matheuxmatou.
Mais

Citation :
je propose une suite pour utiliser \; a = x-y = 1 \; :

En déduire ...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : polynome 23-01-21 à 10:18

@ciocciu

Glapion @ 21-01-2021 à 20:29

Bonsoir, pose x = [(517+13)/2]^(1/3) et y = [(517-13)/2]^(1/3)

puis calcule a3 = x^3-y^3+ 3xy(y-x) = .....
tu dois trouver 1 à la fin.
C'est vrai que les pointillés sont trompeurs.
A moins que quelque chose m'échappe aussi ?

Posté par
ciocciu
re : polynome 23-01-21 à 10:25

Sylvieg @ 23-01-2021 à 09:54

Je réponds à ciocciu :

On a y-x = a.
On a trouvé a3 = 13+12(y-x)
Ça va peut-être faire tilt

tilt ! a= 1 est une solution evidente
merci

Posté par
ciocciu
re : polynome 23-01-21 à 10:28

moi j'avais remarqué que x et y sont constitués de (m-p)1/3 et (m+p)1/3....donc   ptet moyen de faire sauter la racine de 17 avec m²-p²
donc j'ai essayé de calculer xy   et sauf erreur de ma part ce qui est toujours possible  xy=4
donc x-y=1 et xy=4  on résoud et c fini

Posté par
Glapion Moderateur
re : polynome 23-01-21 à 10:38

oui j'avais oublié le cube, on en était à a3 = 13- 12a

et il suffit alors de factoriser a3 + 12a - 13 = 0 par (a-1) en remarquant la solution évidente a=1

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : polynome 23-01-21 à 10:40

Pas d'erreur, c'est tout bon pour x-y=1 et xy=4

Pour "a= 1 est une solution evidente", il faut compléter par "et c'est la seule solution réelle".

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : polynome 23-01-21 à 10:41

Messages croisés

Posté par
Glapion Moderateur
re : polynome 23-01-21 à 11:37

Citation :
il faut compléter par "et c'est la seule solution réelle".

oui tout à fait, il faut qu'une fois factorisé le polynôme a3 + 12a - 13 = 0 montrer que le polynôme du second degré qui représente le second facteur n'a pas de racine réelle. J'espérais que Roon trouve tout ça, mais il a l'air d'avoir décroché du topic il y a un bon moment.

Posté par
matheuxmatou
re : polynome 23-01-21 à 12:06

sinon en remarquant que ce sont des cubes parfaits sous la racine cubique, la différence vaut 1 ... (voir 10:00)

Posté par
Glapion Moderateur
re : polynome 23-01-21 à 14:17

ha oui matheuxmatou je n'avais pas percuté sur ton post, bien joué !. Mais il faut le trouver.

Posté par
Roon
re : polynome 24-01-21 à 19:07

a3=13+12(y-x)
x3+12x-13 par x-1
on a donc x3+12x-13=(x²+x+13)(x-1)
delta =1²-4*13<0
or aappartient a R donc a=1
merci pour vos reponse

Posté par
lafol Moderateur
re : polynome 24-01-21 à 21:37

Bonsoir
je cherche encore le polynôme ?

Posté par
lafol Moderateur
re : polynome 24-01-21 à 21:44

ne me dites pas que a est ce qui a été trouvé par des formules de Cardan pour chercher les racines d'un polynôme de degré 3 qui avait donc ....1 comme racine évidente ?

Posté par
lafol Moderateur
re : polynome 24-01-21 à 21:50

genre x^3+12x-13 ?



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