modération > **Bonjour***
Trouver les polynômes P tels que P+1 soit divisible par (X -1)^4et P-1 par (X+1)^4
1. en utilisant la relation de Bézout,
2. en considérant le polynôme dérivé
P'. Combien y a-t-il de solutions de degré 7 ?
Svp J'arrive pas à résoudre cette exercice !!
P+1=A(X-1)^4
P-1=B(X+1)^4
On fait la soustraction pour obtenir le théorème de Bézout
1=A/2 (X-1)^4 - B/2 (X+1)^4
P=A(X-1)^4 - 1
Je suis bloquée là
Et la preuve c'est que si A est un anneau commutatif, A[X] est la A-algèbre libre sur un générateur : pour toute A-algèbre B et pour tout b appartenant à B, il existe un unique morphisme de A-algèbres envoyant X sur b. L'image d'un polynôme P par ce morphisme est notée de manière non ambigue , pour tout P.
En particulier, l'identité est l'unique morphisme de A-algèbres envoyant X sur X et donc .
(moi on m'a toujours dit, quand j'étais étudiant, que lorsque il y a avait du X quelque part il fallait en mettre partout !... si on pose R(X) = (X-1)4 alors là oui, P=AR-1
mais bon...)
pour la question 1 : on a donc 2 polynômes A et B tels que
P(X) = A(X) (X-1)4 - 1
P(X) = B(X) (X+1)4 + 1
cela signifie que
2 P(X) = A(X) (X-1)4 + B(X) (X+1)4 (*)
avec
A(X) (X-1)4 - B (X) (X+1)4 = 2
cela est une identité de Bezout traduisant le fait que (X-1)4 et (X+1)4 sont premiers entre eux
avec l'algorithme d'Euclide (c'est tarte mais je l'ai fait !) on trouve explicitement deux polynômes U et V tels que
U(X) (X-1)4 - V(X) (X+1)4 = 2
on peut en déduire la forme générale de A et B
et reporter dans (*) pour avoir la forme générale de P...
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