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Niveau Licence Maths 1e ann
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Polynôme

Posté par
Asmae23
17-03-21 à 10:28

modération > **Bonjour***

Trouver les polynômes P tels que P+1 soit divisible par (X -1)^4et P-1 par (X+1)^4
1. en utilisant la relation de Bézout,
2. en considérant le polynôme dérivé
P'. Combien y a-t-il de solutions de degré 7 ?
Svp J'arrive pas à résoudre cette exercice !!

Posté par
malou Webmaster
re : Polynôme 17-03-21 à 10:34

Bonjour

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q01 - Que dois-je faire avant de poster une question ?

Posté par
matheuxmatou
re : Polynôme 17-03-21 à 11:35

bonjour aussi !

on attend que tu écrive quelque chose pour la (1) ...

Posté par
Asmae23
re : Polynôme 17-03-21 à 11:45

P+1=A(X-1)^4
P-1=B(X+1)^4
On fait la soustraction pour obtenir le théorème de Bézout
1=A/2 (X-1)^4 - B/2 (X+1)^4

P=A(X-1)^4 - 1
Je suis bloquée là

Posté par
matheuxmatou
re : Polynôme 17-03-21 à 11:48

déjà la notation ne va pas ... A et B sont des polynômes

Posté par
matheuxmatou
re : Polynôme 17-03-21 à 11:49

P(X) = A(X) (X-1)4 - 1
P(X) = B(X) (X+1)4 +1

Posté par
Asmae23
re : Polynôme 17-03-21 à 12:04

Oui je sais que la notation ne vas pas.
La question  c comment trouver P(X)

Posté par
Ulmiere
re : Polynôme 17-03-21 à 12:20

Y'a pas de problème avec la notation. Pour tout polynôme P, on a P = P(X) = P(X)(X) = P(X)(X)(X) = \cdots

Posté par
Ulmiere
re : Polynôme 17-03-21 à 12:31

Et la preuve c'est que si A est un anneau commutatif, A[X] est la A-algèbre libre sur un générateur : pour toute A-algèbre B et pour tout b appartenant à B, il existe un unique morphisme de A-algèbres envoyant X sur b. L'image d'un polynôme P par ce morphisme est notée de manière non ambigue \phi_b(P) = P(b), pour tout P.

En particulier, l'identité est l'unique morphisme de A-algèbres envoyant X sur X et donc P(X) = \phi_X(P) = id(P) = P.

Posté par
matheuxmatou
re : Polynôme 17-03-21 à 14:53

(moi on m'a toujours dit, quand j'étais étudiant, que lorsque il y a avait du X quelque part il fallait en mettre partout !... si on pose R(X) = (X-1)4 alors là oui, P=AR-1

mais bon...)

Posté par
matheuxmatou
re : Polynôme 17-03-21 à 15:42

Asmae23

pour la question 2, tu es sûr que c'est bien "inférieur ou égal" à 7 ?

Posté par
matheuxmatou
re : Polynôme 17-03-21 à 17:12

pour la question 1 : on a donc 2 polynômes A et B tels que

P(X) = A(X) (X-1)4 - 1
P(X) = B(X) (X+1)4 + 1

cela signifie que

2 P(X) = A(X) (X-1)4 +  B(X) (X+1)4 (*)

avec

A(X) (X-1)4 -  B (X) (X+1)4 = 2

cela est une identité de Bezout traduisant le fait que (X-1)4 et (X+1)4 sont premiers entre eux

avec l'algorithme d'Euclide (c'est tarte mais je l'ai fait !) on trouve explicitement deux polynômes U et V tels que

U(X) (X-1)4 -  V(X) (X+1)4 = 2

on peut en déduire la forme générale de A et B

et reporter dans (*) pour avoir la forme générale de P...

Posté par
Asmae23
re : Polynôme 17-03-21 à 21:32

Merci. J'ai bien compris comment faire pour Q1.

Oui c'est inférieur ou égal à 7



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