Bonjour

Si    et que le tout doit être divisible par x^4, comme on a déjà du x^3 dans l'écriture du membre de droite, il ne manquerait plus qu'un facteur x supplémentaire pour obtenir une divisbilité par x^4. Ce facteur x doit forcément être dans Q(x+1)

En récapitulant, les seuls conditions sont : Q est de degré 3 et Q(x+1) est divisible par x

les seules* conditions

Une remarque : être divisible par x (et donc par n'importe quelle puissance de x) implique Q(0)=0 et non pas Q(1)=0 comme tu as écrit dans le premier message. Vu autrement, ça implique que le dernier coefficient (celui affecté de la puissance nulle) est nul

My bad, en me relisant, bien sûr que si Q(x+1) est divisible par x, alors Q(1)=0...

Si Q(x)=ax^3+bx^2+cx+d
Alors Q(1)=0 nous mène a+b+c+d=0  
Mais comment déterminer a, b, c et d?

Comme tu veux. Il y a plein de polynômes qui vérifient ça. Une simple équation linéaire à 4 variables, si tu fais un peu d'algèbre tu sauras que ça a 3 degrés de liberté. Intuitivement, tu peux déplacer 3 variables comme tu veux, et tu pourras toujours régler la 4ème pour que ça fonctionne. Il n'y a alors pas une seule solution à a+b+c+d=0, mais tout un espace 3d de solutions. Par exemple, {0,0,0,0} ou encore {1,1,-1,-1}

Autrement, tu peux voir que Q(x+1) doit être multiple de x, et tu en connais normalement des polynômes de degré 3 qui sont multiples de x. Ça évite de se trimbaler une équation

Bonjour,
Autre façon de traiter le problème : divisible par équivaut à divisible par (en substituant à ). Les deuxième condition implique donc la première.
Y aurait-il une erreur d'énoncé ?

On peut prendre par exemple Q(x) = (x-1)^3

Exactement

MERCI

Bonjour,
Les derniers messages ne donnent pas de réponse à la question de GBZM.

Quant à l'énoncé avec "Déterminer un polynôme", on a vraiment envie de le remplacer par "Déterminer tous les polynômes".

Il manque une condition dans ma réponse.

Ajouter "a différent de 0"

La question de GBZM portait sur l'énoncé, pas sur les solutions.
Je pose sa question un peu différemment en écrivant l'énoncé tronqué ci-dessous :
Déterminer un polynôme de degré 6 tel que soit divisible par .
N'est-il pas équivalent à l'énoncé donné par smir ?

Les polynômes qui répondent à la question sont de la forme (x-1)⁴(ax²+bx+c) avec a non nul.
Sauf erreur de ma part.

Bonjour,

Les polynômes répondant à la question peuvent être écrits de différentes manières, par exemple :

Les polynômes répondant à la question peuvent aussi s'écrire comme dans mes réponses du 16-09-25 à 09:4 et la suivante.

Exemple :

P(x) = (x-1)³.(ax³+bx²+cx+d)
avec a+b+c+d = 0
et a différent de 0

Exemple numérique : a = 1, b = 1, c = -2 et d = -1

P(x) =  (x-1)³.(x³+2x²-2x-1)
P(x+1) = x³[(x+1)³+2(x+1)-2(x+1)-1)
Et en développent on arrive à P(x+1) = x^4.(x²+5x+5)
... qui est bien divisible par x^4.

Ce ne sont que deux manières différentes d'écrire la même chose.

On peut évidemment faire la vérification en littéral plutôt que par une simple exemple numérique. C'est plus long mais sans difficultés.
... Ou approcher le problème comme dans le dialogue entre smir et Zormuche ... qui, je pense, aboutit à la même réponse que la mienne.

Vraiment, vous ne trouvez pas un peu bizarre un énoncé qui demande de déterminer un polynôme de degré 6 qui est divisible par et par ?

Un peu, c'est vrai, mais je ne l'ai pas dit