Bonjour,

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il suffit de connaître la valeur du polynôme pour un nombre transcendant ( e par exemple ).
Ça marche aussi pour les polynômes à coefficients rationnels.

Bonjour Verdurin.

Je ne connaissais pas cette version avec seulement 1 point. Mais comment ensuite en déduis-tu les coefficients ? J'imagine que e, e², e³, ... eⁿ constituent une "base" ? Mais après?

Cela dit, ici l y a plus simple en restant dans les nombres entiers

La famille est libre sur par définition de la transcendance.

Comment donner la valeur exacte de en e ?
La méthode normale est d'écrire et les coefficients sont facile à lire.

Bonjour

Il est un peu difficile de lire les chiffres des puissances d'un nombre transcendant . Si on connait la "taille" k du plus grand coefficient , il suffit de calculer P(10^k) pour lire directement les coefficients . Comme cette taille n'est pas donnée , il y a certainement une astuce

Imod

Bonjour Imod

Oui, un premier point est  P(10^k). Qui est une base "facile" pour lire les coefficients.
Et effectivement il va falloir un deuxième point de P pour trouver ce k minimal . Tu y es presque  

Si on a droit à un deuxième essai , c'est facile avec P(1) par exemple .
Imod

Bravo!
P(1) donne la somme des coefs.
On choisit alors k tel que 10^k>P(1)>max(coefs de P)


J'avais vu cette énigme il y a quelques semaine.
Et trouvé ça très tellement contre-intuitif.
Vu que généralement, on dit qu'il faut minimum n point afin de pouvoir estimer un polynôme de degré n (mais à coefficient dans )

En fait ma réponse repose sur une remarque de Godement que j'ai lu il y a environ cinquante ans et qui disait que dans l'écriture K[X] ( ensemble des polynômes à coefficients dans K ) X désigne un nombre transcendant sur K.
Ça m'avait frappé à l'époque et je m'en souviens encore.

Ceci étant dit je trouve très belle la solution que donnent fabo34 et Imod.

Une correction pour un petit lapsus de fabo34 : il faut n+1 valeurs réelles de P(X) pour déterminer P dans [X].

En fait le résultat que tu donnes permet en théorie de trouver les coefficients du polynôme en un seul essai mais en pratique c'est un peu moins facile . En fait la justification de ce résultat est complètement évidente . Si e est un nombre transcendant et P et Q deux polynômes à coefficients rationnels tels que P(e)=Q(e) alors P-Q est un polynôme à coefficients rationnels ayant une racine non algébrique , il est donc identiquement nul .
Imod

@Imod : "mais en pratique c'est un peu moins facile".  
Ça signifie qu'il existerait un moyen?
Comment procéderait-on pour connaître les avec ?

Les coefficients sont uniques , ce n'est pas a moi de les découvrir
Imod

Tu  ne peux pas lire les chiffres directement dans la représentation décimale de , mais c'est le même principe que pour , mais en base plutôt qu'en base .

C'est-à-dire que


etc

Il faut bien faire attention à prendre une assez grande puissance de e pour que les coefficients du polynôme soient tous plus petits que e^k. Donc k = ceil(log(P(1)) par exemple.

Voici un code que tu copier-coller

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import math
import mpmath
mpmath.mp.prec= 500

def chiffres_en_base(n, b):
	nb_digits = int(mpmath.floor(mpmath.log(n)/mpmath.log(b)) + 1.0)
	digits = [0] * nb_digits
	
	n = mpmath.mpf(n)
	b = mpmath.mpf(b)
	
	# on commence à énumérer les chiffres par la gauche
	p = b ** (nb_digits-1)
	
	for i in range(nb_digits):
		d = int(n / p)
		n -= p * d
		digits[i] = d
		p /= b
	
	return digits

class Polynome:
	def __init__(self, coeffs):
		
		if not coeffs:
			self.coeffs = []
			self.deg = None
			return
		
		# calcul du degré
		n = len(coeffs)
		while n >= 1 and coeffs[n-1] == 0:
			n -= 1
		if n == 0 and coeffs[n] == 0:
			self.coeffs = []
			self.deg = None # degré -infini
			return
		
		self.deg = n-1
		self.coeffs = coeffs[:n]
	
	def eval(self, point):
		if self.deg == None:
			return 0
		if self.deg == 0:
			return self.coeffs[0]
			
		# méthode de Horner pour évaluation
		s = 0
		for c in self.coeffs[::-1]:
			s = point * s + c
		return s


coeffs = [14, 77, 9875, 6, 213, 0, 1, 0,0,0,0]
P = Polynome(coeffs)
print(P.deg, P.coeffs)
print()

print(P.eval(10**5))
# affichage par groupes
s = str(P.eval(10**5))
if len(s)%5 != 0:
	s = "0" * (5-len(s)%5) + s
print( [s[i:min(i+5, len(s))] for i in range(0, len(s), 5)] )
print(chiffres_en_base(P.eval(10**5), 10**5))


print()

# évaluation en e^K
K = int(mpmath.ceil(mpmath.log(P.eval(1))))
E = mpmath.e ** K
print(K, E, P.eval(E), "-> coefficients non visibles dans l'écriture")
print(chiffres_en_base(P.eval(E), E))

Merci Ulmiere !!
Oui, ça fonctionne parfaitement.

Que e puisse être une base . Wouaw. C'est incroyable. J'ai l'impression d'être un enfant en primaire qui (re)découvre les bases. Donc ça marche pour tous les nombres transcendants?

@Ulmiere

Encore merci pour ton script. Je ne connaissais pas le module mpmath, pour travailler en "arbitrary-precision floating-point arithmetic". Quelle puissance!

J'ai vu que tu as mis une précision de 500 chiffres (mpmath.mp.prec= 500 ).

J'ai juste changé une valeur à ton exemple. Et ça coince sur la dernière valeur.

10 [14, 77, 9875, 6, 213, 0, 1, 0, 0, 0, 1]

avec P(10^k)
[1, 0, 0, 0, 1, 0, 213, 6, 9875, 77, 14]

avec l'exponentielle:
[1, 0, 0, 0, 1, 0, 213, 6, 9875, 77, 13]

J'imagine que le choix de la précision va être crucial. Vu qu'on travaille avec des nombres avec une infinité de décimal, y-a-t-il une solution pour trouver la bonne précision?