Je pense qu'il y a un problème dans l'énoncé car je vois mal comment Q(0)Q(r) peut être toujours négatif, quel que soient k et r.
Car il faut étudier le signe de 2*r^5+3*k^2*r-k^2 qui change quand r varie de -inf à +inf.

Il faut supposer k différent de 0, sinon c'est raté.
Si k = 0 -> Q(x) = x³ - 3rx² = x²(x-3r) -> x = 3r et racine double x = 0.
-> c'est raté.

Dans la suite, on suppose k différent de 0.

Q(X)=X3-3rX²-3(k²/r²)X+(k²/r²)

Q(0) = (k²/r²) toujours > 0

-> Q(0).Q(r) a le signe de Q(r)

Q(r) = r³-3r³-3(k²/r)+k²/r²
Q(r) = (-2r^5 - 3k²r + k²)/r²

Comme r² > 0, Q(r) a le signe de  (-2r^5 - 3k²r + k²) et donc Q(0).Q(r) a le signe de  (-2r^5 - 3k²r + k²)

f(r) = -2r^5 - 3k²r + k²
f '(r) = -10r^4 - 3k²

f '(r) < 0 pour tout r -> f(r) est décroissante.
lim(x->-oo) f(r) = +oo
lim(x->+oo) f(r) = -oo

Des 3 lignes précédentes, on conclut qu'il y a une et une seule valeur de r qui annule f(r), soit ro cette valeur.

On a alors:
Q(0).Q(r) > 0 pour r dans ]-oo ; ro[
Q(0).Q(r) = 0 pour r = ro
Q(0).Q(r) < 0 pour r dans ]ro ; oo[

f(ro) = 0 ->   -2ro^5 - 3k²ro + k² = 0
ro(ro^4 + 3k²) = k²
ro = k²/(ro^4+3k²)

Le membre de droite est > 0 (à cause des carrés)
-> ro > 0

On sait que Q(0) > 0
On sait que Q(ro) = 0 et que ro > 0
on sait que lim(x->-oo) Q(x) = -oo
on sait que lim(x->+oo) Q(x) = +oo

C'est suffisant pour conclure que Q(X) admet 3 racines réelles 2 à 2 distinctes et non nulles r1, r2, r3.
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Saud distraction.  

merci de votre aide : cela m'a bien éclairci