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polynôme caractéristique et diagonalisation

Posté par
Quemlou 14-05-21 à 12:27

Bonjour à toutes et tous !

Je suis actuellement en train de réviser pour mes oraux afin de rentrer en grande école et je rencontre des difficultés sur un exercice assez basique sur les matrices. Voici l'énoncé :

Calculer le polynôme caractéristique de A=

000d
100c
010b
001a


(désolé pour la présentation je ne vois pas comment faire autrement)

A est-elle diagonalisable si (a,b,c,d)=(3,-2,,0) avec




on a tout d'abord :
A=
X00-d
-1X0-c
0-1X-b
00-1X-a


Je n'arrive pas à calculer le polynôme caractéristique de cette matrice de façons à ce qu'il soit scindé (en faisant des opérations sur les lignes/colonnes ou des développements selon une ligne/colonne), y a-t-il une technique de calcul pour ce genre de matrice, ou une propriété que j'aurais oublié ?

Merci d'avance ^^

Posté par
carpediemre : polynôme caractéristique et diagonalisation 14-05-21 à 13:25

salut

le polynome caractéristique est le déterminant de ta deuxième matrice : je le calculerai par rapport à la première colonne tout comme les deux sous-déterminants d'ordre 3 ... et bien sûr en factorisant au maximum à chaque étape ...

Posté par
Quemloure : polynôme caractéristique et diagonalisation 14-05-21 à 16:55

Bonjour Carpediem, merci de m'avoir répondu !

Effectivement je cherche à calculer le déterminant de cette matrice, en effectuant des opérations sur les lignes et les colonnes, j'obtiens A=

X00-d
X-1X0-c
X-1-1X-b
X-10-1X-a-d


Et ce en faisant d'abord:
C1 <- C1+C2+C3

Puis:
L4 <- L4+L1

Mais je ne vois pas comment avoir le coefficient X-1 en position 1,1 pour pouvoir factoriser mon déterminant

Posté par
carpediemre : polynôme caractéristique et diagonalisation 14-05-21 à 17:16

tu te compliques bien les choses ...

le calcul direct donne :

\begin{vmatrix} x &0 &0 &-d \\ -1& x &0 &-c \\ 0&-1 &x &-b \\ 0 & 0 & -1 &x-a \end{vmatrix} = (-1)^{1 + 1}x \begin{vmatrix} x& 0 & -c\\ -1 &x &-b \\ 0 &-1 & x-a \end{vmatrix} + (-1)^{1 + 2}(-1) \begin{vmatrix} 0 &0 &-d \\ -1& x & -b\\ 0& -1 &x-a \end{vmatrix}

je développe à nouveau les déterminants suivant la première colonne ...
le deuxième est immédiat ...

Posté par
Quemloure : polynôme caractéristique et diagonalisation 14-05-21 à 21:52

Je ne pense pas connaître ce développement... en tout cas en appliquant la formule que je connais :

det(A)=\sum_{i=1}^{n}{(-1)^{i+j}.a_{i,j}.A_{_{i;j}}}

Je n'obtient pas ce résultat ( j'ai vu cette formule en première année pendant le confinement alors peut être que je ne l'ai pas bien comprise)
D'autant plus que le polynôme que j'obtient à la fin est sensé me dire si la matrice est diagonalisable ou non, ce qui implique qu'il soit scindé et que je puisse identifier ses valeurs propres.

Posté par
GBZMre : polynôme caractéristique et diagonalisation 15-05-21 à 07:21

Bonjour,

Il faut absolument que tu retravailles ton cours sur le développement du déterminant suivant une ligne ou suivant un colonne. Tu dois pouvoir maîtriser ça.

La matrice qu'on te propose est un grand classique. Elle s'appelle matrice compagnon (ou compagne), et ce genre de matrices joue un rôle dans la réduction des endomorphismes. Tu pourras trouver de nombreuses références sur ce sujet.

Une astuce pour calculer son polynôme caractéristique, c'est à dire pour calculer le déterminant de X I_4-A : ajouter à la première ligne X fois la deuxième, X^2 fois la troisième, X^3 fois la quatrième. Ceci ne change pas la valeur du déterminant. Ensuite, développer suivant la première ligne.

Posté par
Quemloure : polynôme caractéristique et diagonalisation 15-05-21 à 14:59

Bonjour GBZM !
Merci pour vos précieux conseil; malheureusement je n'ai pas eu de cours à proprement parler sur les développements selon les lignes et les colonnes, mais grâce à votre technique je pense être sur la bonne voix. En faisant :
L1 <- L1+XL2+X2L3+X3L4,

Puis en développant selon la première ligne, j'obtient:
A=X4-aX3-bX2-cX-d

Est-ce correct ?

ensuite, je dois montrer qu'elle est diagonalisable, avec (a,b,c,d) décris précédemment.
On a donc :

A=X4-(X)3-(-X)2-(X)

Or, si A a 4 valeurs propres distinctes, alors A est diagonalisable. Je dois donc prouver que le polynôme A a 4 racines distinctes dans , mais mon polynôme n'est pas encore scindé
Je cherche donc les racines de ce polynôme pour voir si elles sont bien distinctes. On remarque que 0 est une racine évidente de ce polynôme, donc on peux simplifier le polynôme par:
A=X(X3-3X2-2X-)

Je ne vois pas trop comment me dépatouiller pour trouver les autres racines de ce polynôme... Je sais que j'ai sans doute du le voir une ou deux fois en cours mais je n'ai pas mon cours sur les polynômes sur moi...

Posté par
GBZMre : polynôme caractéristique et diagonalisation 15-05-21 à 19:35

Le calcul du polynôme caractéristique est correct, après tu fais une erreur de signe.
Mais je subodore une erreur d'énoncé, ou une mauvaise transcription. Vérifie bien l'énoncé.

Posté par
Quemloure : polynôme caractéristique et diagonalisation 15-05-21 à 22:09

Je suis certain d'avoir correctement transcrit l'énoncé, et cela m'étonnerai qu'il y ai une erreure venant de mon professeur (ca n'est jamais arrivé)

Mais je ne vois pas où est l'erreur de signe, car on a bien -((-2)X2) = -(X)2, et c'est le seul endroit où, selon moi, j'ai pu faire cette erreur

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : polynôme caractéristique et diagonalisation 16-05-21 à 01:08

Bonsoir,

il s'agit en effet de la matrice compagnon \Large \boxed{A=\left(\begin{array}{cccc}0&0&0&d\\1&0&0&c\\0&1&0&b\\0&0&1&a\end{array}\right)} (compagne) du polynôme \Large \boxed{P(X)=X^4-aX^3-bX^2-cX-d}

dont le polynôme caractéristique \Large \boxed{\det(XI_4-A)=\left|\begin{array}{cccc}X&0&0&-d\\-1&X&0&-c\\0&-1&X&-b\\0&0&-1&X-a\end{array}\right|}

s'obtient facilement en développant par rapport à la dernière colonne :

\Large \boxed{\det(XI_4-A)=(X-a)\left|\begin{array}{ccc}X&0&0\\-1&X&0\\0&-1&X\end{array}\right|+b\left|\begin{array}{ccc}X&0&0\\-1&X&0\\0&0&-1\end{array}\right|-c\left|\begin{array}{ccc}X&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{array}\right|+d\left|\begin{array}{ccc}-1&X&0\\0&-1&X\\0&0&-1\end{array}\right|=P(X)}

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : polynôme caractéristique et diagonalisation 16-05-21 à 01:46

Pour tout complexe \lambda on voit que \Large \boxed{rg(\alpha I_4-A)=rg\left(\begin{array}{cccc}X&0&0&-d\\-1&X&0&-c\\0&-1&X&-b\\0&0&-1&X-a\end{array}\right)\geqslant3}

(vu que les trois premiers vecteurs colonnes sont clairement linéairement indépendants)

et ainsi pour toute valeur propre de A (c'est à dire aussi toute racine de P) on a \Large \boxed{\dim\ker(\lambda I_4-A)=1}

A est donc diagonalisable si et seulement si P est à racines simples. sauf erreur de ma part bien entendu

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : polynôme caractéristique et diagonalisation 16-05-21 à 01:56

avec \Large \boxed{(a,b,c,d)=(\alpha^3,-\alpha^2,\alpha,0)~,~\alpha\in\mathbb C} on a \Large \boxed{\chi_A(X)=P(X)=X^4-\alpha^3X^3+\alpha^2X^2-\alpha X}

qui n'est pas à racines simples pour tout \alpha\in\mathbb C (considérer par exemple le cas \alpha=0)

Posté par
Quemloure : polynôme caractéristique et diagonalisation 16-05-21 à 21:51

Bonsoir elhor_abdelali
Désoler pour le temps de réponse

Je ne saisi pas votre second message, en effet, vous parlez de sans le mentionner par la suite, auriez vous changer en ?

de plus, le fait que rg(A)3 implique nécessairement que dim(ker(A-I4))=1 ce justifie t-il par le théorème du rang ?

Enfin, je m'accorde parfaitement avec votre justification pour la diagonalisation, mais n'y aurait-il pas un autre moyen de montrer ce résultat plutôt que de passer par un contre exemple ?

Merci pour votre précieuse aide !

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : polynôme caractéristique et diagonalisation 17-05-21 à 00:29

Bonsoir Quemlou

Citation :
Je ne saisi pas votre second message, en effet, vous parlez de sans le mentionner par la suite, auriez vous changer en ?


Oups ! c'est une erreur de frappe je voulais écrire \Large \boxed{rg(\lambda I_4-A)}

Citation :
de plus, le fait que rg(A)3 implique nécessairement que dim(ker(A-I4))=1 ce justifie t-il par le théorème du rang ?


exactement c'est le fameux théorème du rang !

Citation :
Enfin, je m'accorde parfaitement avec votre justification pour la diagonalisation, mais n'y aurait-il pas un autre moyen de montrer ce résultat plutôt que de passer par un contre exemple ?


étant clair maintenant que le polynôme \Large \boxed{\chi_A(X)=P(X)=X^4-\alpha^3X^3+\alpha^2X^2-\alpha X} n'est pas à racines simples pour tout \alpha\in\mathbb C

il reste à déterminer avec précision l'ensemble des complexes \alpha pour lesquels P(X) est à racines simples.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : polynôme caractéristique et diagonalisation 17-05-21 à 01:10

une idée serait de remarquer que si \alpha n'est pas nul alors P est à racines simples si et seulement si \frac{P}{X} l'est

or il me semble qu'on peut trouver une condition nécessaire et suffisante pour qu'un polynôme du troisième degré ait trois racines distinctes

Posté par
GBZMre : polynôme caractéristique et diagonalisation 17-05-21 à 08:28

Tu dis que tu ne vois pas ton erreur de signe . Il n'y en a pourtant bien une dans :

Quemlou @ 15-05-2021 à 14:59


A=X(X3-3X2-2X-)

La vois-tu ?
Tu dis aussi que l'énoncé est bon. Permets-moi d'en douter. Je trouve que ça serait plus sympa si le polynôme caractéristique était
X(X^3-\alpha X^2+\alpha^2X-\alpha^3)
Là, en dehors du cas \alpha=0, on a bien diagonalisabilité et ça se voit aisément.

Posté par
Quemloure : polynôme caractéristique et diagonalisation 17-05-21 à 08:36

Bonjour elhor_abdelali,

Je vois bien le fait que si n'est pas nul, alors P est à racine simple si et seulement si P/X l'est, c'est immédiat

Mais l'étude des polynômes de degré 3 n'étant pas au programme, je ne sais pas trop comment trouver cette condition nécessaire et suffisante...

Posté par
Quemloure : polynôme caractéristique et diagonalisation 17-05-21 à 08:41

Bonjour GBZM !

oui j'ai vu mon erreur de signe, désolé je n'aurais pas du faire ce genre de faute ^^'

Je verrai mon professeur dans la semaine, je vous redirai s'il y a une erreur d'énoncé !

Posté par
GBZMre : polynôme caractéristique et diagonalisation 17-05-21 à 09:03

Tout le monde peut se tromper, même ton professeur !  

Posté par
Quemloure : polynôme caractéristique et diagonalisation 17-05-21 à 15:49

Bonjour !

En effet, ce n'est pas une erreur de mon professeur mais de la personne qui a rédiger cet exercice pour un oral au concours CCP, mais il m'as dis de continuer cet exercice avec les données ci-dessus.

Il m'as aussi donné l'indication d'étudier les racine du polynôme X3-3X2+2X-, ainsi que celles de son polynôme dérivé : 3X2-23X+2

les racines du polynôme dérivé étant :
X1= \frac{\alpha (\alpha ^{2 }+\sqrt{2}i)}{3}
et
X2=\frac{\alpha (\alpha ^{2 }-\sqrt{2}i)}{3}

car , et =-82

d'autre part, ces racines doivent être différentes de celles du premier polynôme, car sinon ce serai des racines d'ordre 2 ou plus, et A ne serait plus diagonalisable, mais je ne vois toujours pas comment obtenir les racines de ce premier polynôme (celui d'ordre 3)

Posté par
GBZMre : polynôme caractéristique et diagonalisation 17-05-21 à 16:09

Une racine multiple d'un polynôme est une racine commune de celui-ci et de sa dérivée ...

Posté par
GBZMre : polynôme caractéristique et diagonalisation 17-05-21 à 16:12

Est-ce que les racines de la dérivée sont des racines du polynôme ?
(Ça devient atroce comme calcul - la faute à l'erreur d'énoncé).

Posté par
Quemloure : polynôme caractéristique et diagonalisation 17-05-21 à 16:29

oui c'est bien pour cela que je dois trouver des racines différentes de X1 et X2 pour le premier polynôme, car A est diagonalisable si et seulement si elle a des valeurs propres simples (donc que son polynôme caractéristique ait des racines simples)

Posté par
GBZMre : polynôme caractéristique et diagonalisation 17-05-21 à 16:32

Pourquoi ne testes-tu pas si l'une ou l'autre des racines trouvées sont racines du polynôme du troisième degré ?

Posté par
GBZMre : polynôme caractéristique et diagonalisation 17-05-21 à 16:39

Par ailleurs, je ne comprends pas ton calcul des racines de la dérivée. Tu es sûr du discriminant ?

Posté par
GBZMre : polynôme caractéristique et diagonalisation 17-05-21 à 16:41

À ta place, je me lancerais plutôt dans le calcul du pgcd du polynôme et de sa dérivée ...

Posté par
Quemloure : polynôme caractéristique et diagonalisation 17-05-21 à 17:03

autant pour moi... on a =4(6-32

Et je ne me vois pas me lancer dans le calcul d'une telle racine, et encore moins de vérifier qu'elles soient racine du polynôme d'ordre 3... d'autant plus que c'est un exercice d'oral, donc normalement faisable en 1h (et ce calcul n'apporte rien de particulier à l'oral à part une perte de temps)

de plus, nous n'avons jamais fait de calcul de PGCD de polynôme (en en parle en cours de sup fait mais aucun exercice dessus, et on a pas parler de pgcd de polynôme mais de deux nombres réels)

Posté par
GBZMre : polynôme caractéristique et diagonalisation 17-05-21 à 17:37

PGCD de deux nombres réels ????

Bon, inutile que tu te casses la tête sur une exercice mal transcrit, surtout si tu n'as pas les outils pour.

Avec les outils qu'il faut, on peut déterminer les valeurs de \alpha
pour lesquelles on n'a pas diagonalisabilité :

polynôme caractéristique et diagonalisation

Posté par
Quemloure : polynôme caractéristique et diagonalisation 17-05-21 à 19:09

ces résultats sont issus du calcul du pgcd du polynôme ? ce genre de solution ne me dis vraiment rien, mais merci beaucoup pour votre précieuse aide ! grâce à vous je connais maintenant les matrices compagnons !

Je vous souhaite une très agréable soirée !

Posté par
GBZMre : polynôme caractéristique et diagonalisation 17-05-21 à 22:13

J'ai pris un raccourci et j'ai utilisé un système de calcul formel (Maple), mais le polynôme -3\alpha^{10}+14\alpha^6-27\alpha^2 est à peu près ce qu'on obtient au bout de l'algorithme d'Euclide entre le polynôme du 3e degré et sa dérivée.
C'est ce qu'on appelle le discriminant du polynôme (et qui généralise le b^2-4ac pour un polynôme du second degré).

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : polynôme caractéristique et diagonalisation 18-05-21 à 01:38

Si on note u, v et w les trois racines complexes de Q=\frac{P}{X} on peut écrire :

\Large \boxed{Q(X)=X^3-\alpha^3X^2+\alpha^2X-\alpha=(X-u)(X-v)(X-w)}

et donc :

\Large \boxed{Q'(X)=3X^2-2\alpha^3X+\alpha^2=(X-u)(X-v)+(X-v)(X-w)+(X-u)(X-w)}

ce qui donne :

\large \boxed{Q'(u)Q'(v)Q'(w)=-(u-v)^2(u-w)^2(v-w)^2=[3u^2-2\alpha^3u+\alpha^2][3v^2-2\alpha^3v+\alpha^2][3w^2-2\alpha^3w+\alpha^2]}

ce qui donne :

\large \boxed{(u-v)^2(u-w)^2(v-w)^2=8uvw\alpha^9-4(uv+vw+wu)\alpha^8+2(u+v+w)\alpha^7-(1+12uvw(u+v+w))\alpha^6}

\large \boxed{+6(uv^2+uw^2+vu^2+vw^2+wu^2+wv^2)\alpha^5-3(u^2+v^2+w^2)\alpha^4+18uvw(uv+vw+wu)\alpha^3-9(u^2v^2+v^2w^2+w^2u^2)\alpha^2-27u^2v^2w^2}

en utilisant les relations coefficients racines :

\Large \boxed{\left \lbrace \begin{array}{r @{ = } l}\sigma_1=u+v+w~&~\alpha^3 \\\sigma_2=uv+vw+wu~&~\alpha^2 \\\sigma_3=uvw~&~\alpha \end{array}\right.}

d'où l'on tire : \Large \boxed{\left \lbrace \begin{array}{r @{ = } l}u^2+v^2+w^2~&~\sigma_1^2-2\sigma_2=\alpha^6-2\alpha^2\\uv^2+uw^2+vu^2+vw^2+wu^2+wv^2~&~\sigma_1\sigma_2-3\sigma_3=\alpha^5-3\alpha\\u^2v^2+v^2w^2+w^2u^2~&~\sigma_2^2-2\sigma_1\sigma_3=-\alpha^4\end{array} \right.}



et donc \Large \boxed{(u-v)^2(u-w)^2(v-w)^2=-3\alpha^{10}+14\alpha^6-27\alpha^2=-\alpha^2\left(3\alpha^8-14\alpha^4+27\right)}

et on voit alors clairement que :


\Large \boxed{P~sans~racines~multiples~\Longleftrightarrow~(u-v)^2(u-w)^2(v-w)^2~\Longleftrightarrow~\left[\alpha\neq0~~et~~\alpha^4\neq\frac{7\pm4i\sqrt2}{3}\right]}

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : polynôme caractéristique et diagonalisation 18-05-21 à 01:48

Je conclue alors (si mes calculs sont bons ) que :


\Large \boxed{\left(\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\1&0&0&\alpha\\0&1&0&-\alpha^2\\0&0&1&\alpha^3\end{array}\right)~diagonalisable~\Longleftrightarrow~\alpha\in\mathbb C\smallsetminus\{0,\pm z,\pm\bar z,\pm iz,\pm i\bar z\}}


où \Large \boxed{z=\sqrt[4]{3}\left((\frac{1}{\sqrt3}+\frac{1}{\sqrt6})+i(\frac{1}{\sqrt3}-\frac{1}{\sqrt6})\right)} sauf erreur bien entendu

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : polynôme caractéristique et diagonalisation 18-05-21 à 02:01

Oups ! petite erreur de frappe

lire plutôt

Citation :
et on voit alors clairement que :


\Large \boxed{P~sans~racines~multiples~\Longleftrightarrow~(u-v)^2(u-w)^2(v-w)^2\textcolor{red}{\neq0}~\Longleftrightarrow~\left[\alpha\neq0~~et~~\alpha^4\neq\frac{7\pm4i\sqrt2}{3}\right]}

Posté par
GBZMre : polynôme caractéristique et diagonalisation 18-05-21 à 07:44

Bonjour,

Elhor Abdelali a fait à la main le calcul du discriminant du polynôme du troisième degré. Bravo pour le courage ! Il est bien sûr retombé sur le discriminant calculé par Maple.  C'est par définition le produit des carrés des différences de racines (pour un polynôme unitaire). C'est un polynôme à coefficients entiers en les racines, il s'exprime donc de manière unique comme polynôme à coefficients entiers en les coefficients du polynôme du troisième degré.
Pour un polynôme de la forme X^3+pX+q, le discriminant est -4p^3-27q^2, formule relativement bien connue. Une autre méthode de calcul du discriminant du polynôme qui nous occupe aurait été de le mettre sous la forme X^3+pX+q par un changement de variable X\mapsto X+\alpha^3/3 et d'utiliser la formule -4p^3-27q^2.
Enfin, une troisième façon de faire à la main serait de calculer le déterminant de la matrice de Sylvester du polynôme et de sa dérivée :

\begin{vmatrix} 1&-\alpha^3&\alpha^2&-\alpha&0\\ 0&1&-\alpha^3&\alpha^2&-\alpha\\ 3&-2\alpha^3&\alpha^2&0&0\\0&3&-2\alpha^3&\alpha^2&0\\ 0&0&3&-2\alpha^3&\alpha^2\end{vmatrix}\;.

Posté par
GBZMre : polynôme caractéristique et diagonalisation 18-05-21 à 11:25

Re,

Le calcul du déterminant de la matrice de Sylvester me semble de loin le plus simple.

Posté par
Quemloure : polynôme caractéristique et diagonalisation 19-05-21 à 20:25

Bonsoir !
ca m'as pris un peu de temps avant de comprendre votre démarche elhor_abdelali, mais j'y suis arrivé ! merci beaucoup à vous, pour votre gentillesse et votre patience face à un exercice dont l'énoncé avait clairement un problème !

De plus GBZM, votre proposition de résolution m'as permis de me débloquer sur un autre sujet avec un polynôme d'ordre 3, merci encore !

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : polynôme caractéristique et diagonalisation 19-05-21 à 20:38

C'est un plaisir Quemlou


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