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Polynome Caractéristique Matrice 4x4

Posté par
Marcello29 02-07-15 à 11:47

Bonjour,

J'ai la matrice suivante

\\ \\ \begin{pmatrix}1&1&1&0\\1&1&1&0\\1&1&1&0\\0&0&0&0\end{pmatrix} \\ \\

Je souhaiterai calculer ses VP. Pour cela je cherche P(λ) seulement je n'ai jamais appris à calculer P(λ) sur une matrice 4x4 et nous n'avons travaillé que sur des matrices 3x3 lors des cours...

La première idée qu'il me vient vu la forme de la matrice 4x4 et avec sa dernière ligne et dernière collone composée de 0 est de la réduire à une matrice 3x3

\\ \\ \begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix} \\ \\

ça devient tout de suite plus simple.

Pouvez vous me dire si l'on peut faire ceci et comment calculer P(λ) d'une matrice 4x4

Posté par
lionel52re : Polynome Caractéristique Matrice 4x4 02-07-15 à 11:59

Salut oui c'est une matrice "par blocs" et tu as la formule suivante :
Si A, B, C sont des matrices (de bonne taille)

Le déterminant de la matrice par bloc

A B
0 C

est det(A)det(C)

Posté par
david9333re : Polynome Caractéristique Matrice 4x4 02-07-15 à 12:05

Bonjour,

Pour une matrice A de taille quelconque n, le polynôme caractéristique est défini par \chi_A=\text{det}(A-XI_n) (ou \text{det}(XI_n-A) selon qu'on veut un polynôme unitaire ou pas forcément...)

Ici, il faut calculer le déterminant \begin{vmatrix}1-X&1&1&0\\1&1-X&1&0\\1&1&1-X&0\\0&0&0&-X\end{vmatrix}

Sinon, pour obtenir les valeurs propres, tu peux remarquer que la matrice est de rang 1, donc le noyau est de dimension 3 (0 est donc valeur propre triple). Pour trouver la valeur propre restante, tu peux utiliser le fait que Tr(A)=\sum\lambda où la somme porte sur les valeurs propres. Ici, tu trouves que la valeur propre restante est 3.

Posté par Profil amethystere : Polynome Caractéristique Matrice 4x4 02-07-15 à 12:13

bonjour



M=\begin {pmatrix}1&1&1&0\\1&1&1&0\\1&1&1&0\\0&0&0&0\end {pmatrix}

[/tex]

tu note m_{ij} les composantes de M

donc de suite tu vois que det (M) =0

et avant de contruire le polynome caracteristique de M tu recherche la matrice M_{\Delta}=M-\gamma _i. Id

et Id la matrice identité

telle que det (M_{\Delta})=0 et les   \gamma _i sont les valeurs propres de M




M_{\Delta}=\begin {pmatrix}m_{11}-\gamma _i&m_{12}&m_{13}&m_{14}\\m_{21}&m_{22}-\gamma _i&m_{23}&m_{24}\\m_{31}&m_{32}&m_{33}-\gamma _i&m_{34}\\m_{41}&m_{42}&m_{43}&m_{44}-\gamma _i\\ \end {pmatrix}



pour ce faire tu dois écrire le determinant de  det (M_{\Delta})=0

det (M_{\Delta})=\epsilon ^{ijkl}m_{1i}m_{2j}m_{3k}m_{4l} sommation avec i,j,k,l de 1 à 4

avec le symbole d'antisymetrie \epsilon ^{ijkl}

qui vaut 0 si au moins deux quelconques des indices sont identiques

qui vaut 1 si l'ordre des indices i,j,k,l proviens d'un nombre pair de permutations à partir de l'ordre originel 1,2,3,4

qui vaut -1 si l'ordre des indices i,j,k,l proviens d'un nombre impair de permutations à partir de l'ordre originel 1,2,3,4

Posté par
lafol Moderateurre : Polynome Caractéristique Matrice 4x4 02-07-15 à 12:20

bonjour

\begin{vmatrix}1-X&1&1&0\\1&1-X&1&0\\1&1&1-X&0\\0&0&0&-X\end{vmatrix} = -X \begin{vmatrix}1-X&1&1\\1&1-X&1\\1&1&1-X\end{vmatrix} en développant par rapport à la dernière ligne (ou colonne)
et te voilà ramené à un déterminant 3*3...

Posté par
carpediemre : Polynome Caractéristique Matrice 4x4 02-07-15 à 12:52

salut

si (u, v, w, t) est la base dans laquelle est écrite A alors

A(u - v) = A(u - w) = A(t) = 0

et A(u + v + w) = 3(u + v + w)

or les quatre vecteurs (u - v, u - w, t, u + v + w) sont indépendants et associés aux valeurs propres 0, 0, 0, 3

donc le polynome caractéristiques est P(x) = x^3(x - 3)

.... mais bon je n'en avais plus besoin ....

Posté par
Robotre : Polynome Caractéristique Matrice 4x4 02-07-15 à 12:55

Avec la matrice donnée, se fatiguer (légèrement) à calculer le polynôme caractéristique n'est peut-être pas le plus économe en énergie. Chassons le gaspi à l'aide des remarques suivantes :
1° Quel est le rang de la matrice (la dimension de l'espace vectoriel engendré par ses colonnes) ? Quelle information en déduit-on sur la valeur propre 0 ?
2° La trace est la somme des valeurs propres (comptées avec multiplicité).

Posté par
Marcello29re : Polynome Caractéristique Matrice 4x4 02-07-15 à 15:02

ok merci pour vos réponses, tout ce qui a été dit n'est pas forcement de mon niveau mais j'ai trouvé tout ça intéressant.

Ensuite comment déterminer une base SEP associé à à la VP 0

Posté par
carpediemre : Polynome Caractéristique Matrice 4x4 02-07-15 à 15:15

as-tu lu ce que j'ai écrit ?

Posté par
Robotre : Polynome Caractéristique Matrice 4x4 02-07-15 à 15:16

En déterminant une base de l'espace des solutions de MX=0, où M est ta matrice. (Si tu sais répondre à la question du rang de M, tu connais la dimension de cet espace).

Posté par
Marcello29re : Polynome Caractéristique Matrice 4x4 02-07-15 à 15:21

j'ai lu mais pas compris

Posté par
lafol Moderateurre : Polynome Caractéristique Matrice 4x4 02-07-15 à 15:33

et si tu l'indiquais, ton niveau ? qu'on adapte nos réponses à ce que tu es susceptible de connaître ?

Posté par
Marcello29re : Polynome Caractéristique Matrice 4x4 02-07-15 à 16:02

c'est des exercices dans le cadre du concours d'ingénieur territorial interne. Quant au niveau je crois que c'est genre niveau maths sup/spé ou DEUG 1 et 2

Posté par
lafol Moderateurre : Polynome Caractéristique Matrice 4x4 02-07-15 à 16:09

ce que Carpediem a écrit à 12:52, c'est exactement que u-v, u-w et t sont des vecteurs propres associés à la valeur propre 0, et que u+v+w est un vecteur propre associé à la valeur propre 3, tu es d'accord ?

Posté par
Marcello29re : Polynome Caractéristique Matrice 4x4 02-07-15 à 16:27

oui je suis d'accord mais on a pas appris à faire comme cela

nous on nous a appris à chercher P(λ) pour trouver les valeurs propres ensuite on cherche les vecteurs propres en posant un système en résolvant AU = λU

vous vous voyez directement tout ça au premier coup d'œil à la matrice. les histoires de rangs et de noyaux on a jamais vu ça par exemple

Posté par
Robotre : Polynome Caractéristique Matrice 4x4 02-07-15 à 16:30

Citation :
En déterminant une base de l'espace des solutions de MX=0, où M est ta matrice.

Citation :
en posant un système en résolvant AU = λU

N'est-ce pas la même chose, quand \lambda=0 ?

Posté par
Marcello29re : Polynome Caractéristique Matrice 4x4 03-07-15 à 15:06

ok alors il faut résoudre le système suivant pour trouver le vecteur propre associé à la valeur propre 0, c'est bien cela ?

\\ $\left \lbrace \begin{array}{r @{ = } l} x + y +z & 0 \\ x + y +z & 0 \\ x + y +z & 0 \end{array} \right. \\ \\

Posté par
lafol Moderateurre : Polynome Caractéristique Matrice 4x4 03-07-15 à 15:16

pour trouver les vecteurs propres associés à 0...

Posté par
lafol Moderateurre : Polynome Caractéristique Matrice 4x4 03-07-15 à 15:17

et n'oublie pas la quatrième équation : 0.x + 0.y + 0.z + 0.t = 0 (n'oublie pas que tu es dans \R^4, quoi)

Posté par
Marcello29re : Polynome Caractéristique Matrice 4x4 03-07-15 à 15:19

Parpedien

Je ne comprends pas ce que tu as écris

Citation :

Si (u, v, w, t) est la base dans laquelle est écrite A alors

A(u - v) = A(u - w) = A(t) = 0

et A(u + v + w) = 3(u + v + w)


à quoi correspond u, v, w et t ? ce sont des vecteurs de la matrice ou de I ? quelle est leur valeur ?

Posté par
Marcello29re : Polynome Caractéristique Matrice 4x4 03-07-15 à 15:22

ok lafol alors j'ai le système suivant :

\\ \\ \\ $\left \lbrace \begin{array}{r @{ = } l} w + x + y + 0z & 0 \\ w + x + y + 0z & 0 \\ w + x + y + 0z & 0 \\ 0w + 0x + 0y + 0z & 0\end{array} \right. \\ \\ \\ \\

est ce bien cela ?

Posté par
Marcello29re : Polynome Caractéristique Matrice 4x4 03-07-15 à 15:44

ok pigé le vecteur propre associé à la valeur propre 0 est

-1 -1  0
0  1  0
1  0  0
0  0  1

Posté par
Robotre : Polynome Caractéristique Matrice 4x4 03-07-15 à 15:55

UNE BASE du SOUS-ESPACE PROPRE associé à la valeur propre 0

Posté par
lafol Moderateurre : Polynome Caractéristique Matrice 4x4 03-07-15 à 16:57

Les vecteurs dot Carpediem parlait sont ceux dans lesquels la matrice t'es donnée, loa base canonique, sans doute
peut-être as-tu plus l'habitude de les appeler \vec{e_1}, \vec{e_2},\vec{e_3},\vec{e_4} ?

Posté par
lafol Moderateurre : Polynome Caractéristique Matrice 4x4 03-07-15 à 17:05

ta question était

Citation :
2.a. - Justifier que 0 est valeur propre de J.


pour celà, il suffit de trouver un vecteur colonne u, le plus simple possible, qui vérifie J.u = 0.u = une colonne de zéros

tu as juste à dire que J.\begin{pmatrix}-1\\0\\1\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix} pour justifier que 0 est valeur propre

Posté par
Marcello29re : Polynome Caractéristique Matrice 4x4 03-07-15 à 17:17

oui on a en effet vu ces notation \vec{e_1}, \vec{e_2},\vec{e_3},\vec{e_4} ? lors des cours sur les endomorphismes avec les f(e_1)...

je vais essayer de reprendre ça prochainement

Posté par
carpediemre : Polynome Caractéristique Matrice 4x4 03-07-15 à 18:46

c'est bien cela le triste de notre système :: on passe tout de suite à des manipulations et opérations sur des objets qu'on ne maitrise pas ... et dont on ne sait pas ce qu'ils représentent ....

n'as-tu pas vu qu'une matrice représente une application linéaire d''espace vectoriel ?
n'as-tu pas vu qu'un espace vectoriel de dimension finie possède une base (que j'appelle (u, v, w, t) avec 3 j'aurai utilisé (i, j, k) pour m'éviter des indices pénibles à écrire sur ordi) ?

...

en regardant simplement la matrice (et sachant donc ce qu'elle représente) je trouve immédiatement 4 vecteurs propres et les valeurs propres correspondantes ...

Posté par
lafol Moderateurre : Polynome Caractéristique Matrice 4x4 03-07-15 à 18:57

carpediem : tu dois avoir un mail avec l'énoncé complet....
on ne peut pas trop s'en prendre au système, là, Marcello est "hors système" pour ses études de maths.
Je ne sais pas à combien d'heures de formation il a eu droit pour préparer son concours, mais ça a dû être de l'hyper accéléré.

Posté par
carpediemre : Polynome Caractéristique Matrice 4x4 03-07-15 à 19:28

oui c'est vrai ... lu et oublié ...

Posté par
Marcello29re : Polynome Caractéristique Matrice 4x4 03-07-15 à 21:59

Carpedien, je comprends bien maintenant que lorsqu'on parle de matrices on parle d'applications linéaires et de plan en x dimensions : 2d avec un repère orthonormé, 3d espace et 4d ? vous mettez t, le temps est la 4ème dimension ?  ce qui nous rapproche des problèmes que l'on a en physique notamment en cinématique.

Désolé de ne pas avoir un cursus scientifique "classique", il manque des briques à mon édifice...

Ce que vous faites dans ce forum est en tout cas très profitable et m'aide beaucoup...

Posté par
lafol Moderateurre : Polynome Caractéristique Matrice 4x4 04-07-15 à 00:04

oui, souvent on appelle les coordonnées x,y,z,t en 4 dimensions
mais ce n'est pas une obligation
on peut aussi les appeler x_1,x_2,x_3 et x_4 ...

Posté par
lafol Moderateurre : Polynome Caractéristique Matrice 4x4 04-07-15 à 00:10

Marcello, relis le topic que tu avais posté en mars : il ressemble beaucoup par certains aspects à ton concours, non ?

Posté par
Marcello29re : Polynome Caractéristique Matrice 4x4 04-07-15 à 08:34

oui c'est toujours les mêmes genres de questions qui reviennent

Posté par
carpediemre : Polynome Caractéristique Matrice 4x4 04-07-15 à 12:53

dire que t c'est le temps c'est simplement donner une interprétation à un paramètre ...

ici tu travailles en dimension 4 donc après les trois coordonnées spatiales génériques (classiques) x, y et z il m'en fallait une quatrième ... j'ai choisi t ... parce qu'après z il n'y a plus de lettres !!!


il est parfois intéressant de donner une "réalité" à des objets mathématiques (le nombre dérivé n'est pour moi que le coefficient directeur d'une droite dans un premier temps : ça a donc une réalité géométrique) ... mais il faut savoir quand et pourquoi donner cette réalité : ici considérer que t est le temps est dans un premier temps sans intérêt ....

par contre ::

une matrice est en elle-même un simple objet mathématique qui répond à certaines propriétés et avec lesquelles on peut faire certaines opérations .... mais ici la considérer comme la représentation d'une fonction dans un domaine bien particulier (espace vectoriel) permet de revenir à des chose simples vues des le collège :: les fonctions et tout leur vocabulaire (image, antécédent, ...) et dans ce cas particulier de fonction bien particulière : les applications linéaires entre espaces vectoriels

et alors il suffit de revenir au fondement (cours de base) et sur les fonctions et sur les espaces vectoriels pour pouvoir répondre à ton pb en considérant une fonction et en regardant les images .... pour reconnaître les valeurs propres et vecteurs propres ....

donner du sens ici permet de donner une réponse de façon quasi-immédiate ...


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