Bonjour, je cale sur un exo que voici :
donner une condition néc. et suffisante sur les trois complexes A, B et C pour que quel que soit z appartient à U, on ait :
Az + B z(barre) + C = 0
Je me suis dit qu'il fallait utiliser les modules, puisque z est dans U, du coup j'ai multiplié tout par z, et j'obtiens facilement :
Az² + Cz + B =0
Bon, déjà le conjugué est parti, mais maintenant je sèche.
Si quelqu'un a une idée pour avancer, merci beaucoup !
Bonjour,
La première idée qui me vient est de remplacer z par des cas particuliers simples de U : 1, -1, i, -i.
Quatre égalités quand on a trois inconnues, ça marche peut-être.
j'y ai pensé, mais à un moment avec ce type de technique, je vais être obligée de séparer les parties imag. et réelle, non ? Pour les expressions de A, B et C je veux dire.
Et là, on s'engage dans des calculs de bourrin.
On peut résoudre des systèmes sans séparer les parties réelles et imaginaires.
Je conseille d'écrire les équations d'inconnues A, B, C.
Remarque :
Pour résoudre (3+i)Z + 7-2i = 0, tu ne sépares pas partie réelle est imaginaire : tu isoles Z.
Une petite remarque qui découle de ce que tu as fait et peut simplifier les calculs un peu.
Tu peux remarquer que si A est nul alors B et C sont nuls aussi.
De même si B est nul, alors en multipliant par au lieu de z, même conclusion.
Et également, si C est nul, A+B = A-B = 0 implique A = B = 0.
Tu peux donc regarder uniquement les possibilités ou aucun des trois ne s'annule. Dans ce cas, en posant A' = A/C et B' = B/C, tu es ramené à ne traiter que le cas où C = 1.
Pourquoi ?
Combiné aux évaluations que tu proposes en 1 et -1, ça donne directement A'+B' + 1 = 0 et -(A'+B') + 1 = 0
Il n'est alors pas difficile d'en déduire que A' = B' = 0 et donc que A = B = 0
Bon, en suivant la méthode proposée par Sylvieg, je trouve A, B C simultanément nuls, car C = 0 immédiatement, et puis A=B et A= -B, mais ça me dérangeait car ...ça me semblait trop simple !
Je vais maintenant réfléchir au cas expliqué par Ulmiere, merci tous les deux !
Tiens,, on ne peut pas éditer les messages ?
Je voulais ajouter que je venais de faire le truc et de regarder le calcul d'Ulmière.
Ulmière, ça ne va pas ton calcul de 15h49, tu obtiens 0= -1
Si je pars sur :
A' z² + z + B' = 0 (avec tes changements de var)
pour z=1 j'ai bien A' + 1 +B' = 0
pour z= - 1 j'ai A' - 1 +B' = 0
et j'en conclus ...pas de solution !
et là je commence à me dire sérieusement que ça ne peut pas être aussi simple, car cet exo est dans une fiche où tous les autres sont vachards. Alors 3 lignes pour le calcul et un système de 4 équations niveau collège, ça me paraît plus que louche.
Vous ne croyez pas qu'on a râté un truc énorme, genre le gros piège ??
Ben justement, on a supposé qu'aucun des trois ne s'annulait et on est arrivé à une contradiction donc notre hypothèse était fausse
Y'a pas de piège, s'il y avait des solutions avec A non nul on serait en train de dire qu'un polynôme de degré 2 a une infinité de racines...
Et si A est nul, si B est non nul on est en train de dire qu'un polynôme de degré 1 a une infinité de racines...
Et si A = B = 0 mais C non nul, on est en train de dire que C = 0...
Mais Ulmière, dans ce cas, on ne pouvait pas simplement dire qu'on avait affaire à un polynôme de degré 2 à coeff complexes et qu'un polynôme de IK[x] est nul quel que soit z ssi tous ses coeff sont nuls ??
Si, mais il fallait le voir
En fait ici, on ne demande la nullité que sur le cercle unité et pas dans tout entier mais c'est la même chose, parce que le cercle a plus de points que le degré du polynôme
Bon, finalement, l'idée de multiplier par z était pas mal :
Pour tout z de U on a Az2 + Cz + B = 0.
L'équation Az2 + Cz + B = 0 admet une infinité de solutions.
Ses coefficients sont donc tous nuls.
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