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Niveau Maths sup
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polynôme coeff complexes

Posté par
Piafou
23-10-22 à 15:05

Bonjour, je cale sur un exo que voici :

donner une condition néc. et suffisante sur les trois complexes A, B et C pour que quel que soit z appartient à U, on ait :

Az + B z(barre) + C = 0

Je me suis dit qu'il fallait utiliser les modules, puisque z est dans U, du coup j'ai multiplié tout par z, et j'obtiens facilement :

Az² + Cz + B =0

Bon, déjà le conjugué est parti, mais maintenant je sèche.

Si quelqu'un a une idée pour avancer, merci beaucoup !

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : polynôme coeff complexes 23-10-22 à 15:10

Bonjour,
La première idée qui me vient est de remplacer z par des cas particuliers simples de U : 1, -1, i, -i.
Quatre égalités quand on a trois inconnues, ça marche peut-être.

Posté par
Piafou
re : polynôme coeff complexes 23-10-22 à 15:16

j'y ai pensé, mais à un moment avec ce type de technique, je vais être obligée de séparer les parties imag. et réelle, non ? Pour les expressions de A, B et C je veux dire.
Et là, on s'engage dans des calculs de bourrin.

Posté par
Camélia Correcteur
re : polynôme coeff complexes 23-10-22 à 15:21

Bonjour

Je ne comprends pas le résultat de la multiplication par z.

On a z\,\overline z=|z|^2.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : polynôme coeff complexes 23-10-22 à 15:21

On peut résoudre des systèmes sans séparer les parties réelles et imaginaires.
Je conseille d'écrire les équations d'inconnues A, B, C.

Remarque :
Pour résoudre (3+i)Z + 7-2i = 0, tu ne sépares pas partie réelle est imaginaire : tu isoles Z.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : polynôme coeff complexes 23-10-22 à 15:22

@Camélia,
J'ai traduit U par "ensemble des complexes de module 1"

Posté par
Piafou
re : polynôme coeff complexes 23-10-22 à 15:23

Camélia, justement oui, ici z est sur le cercle unité !

Bon, j'essaie et je reviens, Sylvieg !

Posté par
Camélia Correcteur
re : polynôme coeff complexes 23-10-22 à 15:25

J'avais mal compris l'énoncé! je crois que la méthode de sylvieg est intéressante.

Posté par
Ulmiere
re : polynôme coeff complexes 23-10-22 à 15:31

Une petite remarque qui découle de ce que tu as fait et peut simplifier les calculs un peu.

Tu peux remarquer que si A est nul alors B et C sont nuls aussi.
De même si B est nul, alors en multipliant par \bar{z} au lieu de z, même conclusion.
Et également, si C est nul, A+B = A-B = 0 implique A = B = 0.

Tu peux donc regarder uniquement les possibilités ou aucun des trois ne s'annule. Dans ce cas, en posant A' = A/C et B' = B/C, tu es ramené à ne traiter que le cas où C = 1.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : polynôme coeff complexes 23-10-22 à 15:37

Bonjour Ulmiere,
Ce que tu proposes me semble bien compliqué.

Posté par
Ulmiere
re : polynôme coeff complexes 23-10-22 à 15:49

Pourquoi ?

Combiné aux évaluations que tu proposes en 1 et -1, ça donne directement A'+B' + 1 = 0 et -(A'+B') + 1 = 0

Il n'est alors pas difficile d'en déduire que A' = B' = 0 et donc que A = B = 0

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : polynôme coeff complexes 23-10-22 à 15:52

Laissons Piafou essayer tranquillement.

Posté par
Piafou
re : polynôme coeff complexes 23-10-22 à 16:26

Bon, en suivant la méthode proposée par Sylvieg, je trouve A, B C simultanément nuls, car C = 0 immédiatement, et puis A=B et A= -B, mais ça me dérangeait car ...ça me semblait trop simple !

Je vais maintenant réfléchir au cas expliqué par Ulmiere, merci tous les deux !

Posté par
Piafou
re : polynôme coeff complexes 23-10-22 à 16:33

Tiens,, on ne peut pas éditer les messages ?
Je voulais ajouter que je venais de faire le truc et de regarder le calcul d'Ulmière.

Ulmière, ça ne va pas ton calcul de 15h49, tu obtiens 0= -1    

Si je pars sur :
A' z² + z + B' = 0 (avec tes changements de var)

pour z=1 j'ai bien A' + 1 +B' = 0
pour z= - 1 j'ai A' - 1 +B' = 0
et j'en conclus ...pas de solution !

Posté par
Piafou
re : polynôme coeff complexes 23-10-22 à 16:35

et là je commence à me dire sérieusement que ça ne peut pas être aussi simple, car cet exo est dans une fiche où tous les autres sont vachards. Alors 3 lignes pour le calcul et un système de 4 équations niveau collège, ça me paraît plus que louche.

Vous ne croyez pas qu'on a râté un truc énorme, genre le gros piège ??

Posté par
Ulmiere
re : polynôme coeff complexes 23-10-22 à 16:40

Ben justement, on a supposé qu'aucun des trois ne s'annulait et on est arrivé à une contradiction donc notre hypothèse était fausse

Posté par
Ulmiere
re : polynôme coeff complexes 23-10-22 à 16:44

Y'a pas de piège, s'il y avait des solutions avec A non nul on serait en train de dire qu'un polynôme de degré 2 a une infinité de racines...
Et si A est nul, si B est non nul on est en train de dire qu'un polynôme de degré 1 a une infinité de racines...
Et si A = B = 0 mais C non nul, on est en train de dire que C = 0...

Posté par
Piafou
re : polynôme coeff complexes 23-10-22 à 16:46

Mais Ulmière, dans ce cas, on ne pouvait pas simplement dire qu'on avait affaire à un polynôme de degré 2 à coeff complexes et qu'un polynôme de IK[x] est nul quel que soit z ssi tous ses coeff sont nuls ??

Posté par
Ulmiere
re : polynôme coeff complexes 23-10-22 à 16:50

Si, mais il fallait le voir

En fait ici, on ne demande la nullité que sur le cercle unité et pas dans \C tout entier mais c'est la même chose, parce que le cercle a plus de points que le degré du polynôme

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : polynôme coeff complexes 23-10-22 à 16:57

Bon, finalement, l'idée de multiplier par z était pas mal :
Pour tout z de U on a Az2 + Cz + B = 0.
L'équation Az2 + Cz + B = 0 admet une infinité de solutions.
Ses coefficients sont donc tous nuls.

Posté par
Piafou
re : polynôme coeff complexes 23-10-22 à 17:04

ah punaise....j'ai cherché pendant 1 heure ou plus un truc débilos !

Merci les copains...

Si vous voulez continuer à vous amuser en ce pluvieux dimanche, je viens de poster un autre exo. Dont j'ai trouvé la réponse, mais pas par la méthode attendue.



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