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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Polynome constant séparable ?

Posté par
LauraLe
27-11-20 à 11:42

Bonjour !

J'ai une question. J'aimerais montré que si pgcd(P',P)=P alors P est séparable.

si pgcd(P',P)=P alors il faut nécessairement que P'=0 donc P constant

Mais est-ce qu'un polynôme constant est séparable ? J'ai vu sur des discussions que cela divisé ...

Je vous remercie,
Bien cordialement

Posté par
mokassin
re : Polynome constant séparable ? 27-11-20 à 11:56

Bonjour,
As tu regardé, ne ce serait qu'un exemple?

Posté par
LauraLe
re : Polynome constant séparable ? 27-11-20 à 12:03

Oui mais en fait un polynôme séparable est un polynôme dont toutes les racines sont simples.

Mais dans le cas d'un polynôme constant, il n'a pas de racine

Posté par
mokassin
re : Polynome constant séparable ? 27-11-20 à 12:06

Quid du polynome (X+1)^p sur F_p?

Posté par
LeHibou
re : Polynome constant séparable ? 27-11-20 à 12:14

Bonjour,

L'égalité PGCD(P',P) = P me pose problème.
le degré du PGCD est inférieur ou égal au min des degré des polynômes qu'il divise.
Or d°(P') = d°(P)-1
donc d°(PGCD(P,P') d°(P') < d°(P)
et donc PGCD(P,P') P

Après, comme tu dis, on peut discuter du cas particulier P constant, P' nul...
Et comme te suggère mokassin, commencer par un exemple.

Posté par
LauraLe
re : Polynome constant séparable ? 27-11-20 à 12:31


Pour répondre à mokassin,

P=(X+1)^p donc P'=p(X+1){p-1}
pgcd(P,P')

Pour répondre à Lehibou,

Je précise que car(K)=0 et P\in K[X]

Si P est non constant donc P′ \neq 0  alors deg pgcd(P′,P) \leq deg(P′<deg(P)
Donc pgcd(P′,P) \neq P

Donc pgcd(P,P')=P si P'=0

Posté par
mokassin
re : Polynome constant séparable ? 27-11-20 à 12:38

Hein??
Non, mais quel est le PGCD de P et P' pour P=(X+1)^p sur F_p... ce polynôme est il séparable ?

LauraLe @ 27-11-2020 à 12:31


Je précise que car(K)=0 et P\in K[X]

Si tu supposes le corps de caractéristique nulle, alors tout ceci n'a aucun interet.

Posté par
LeHibou
re : Polynome constant séparable ? 27-11-20 à 12:38

On est bien d'accord.
Donc si P' = 0, P = k constant, et tout polynôme Q = k' constant 0 divise P et P'.
On a donc une infinité de diviseurs de P' et P, et P appartient à cet ensemble ssi k 0

Posté par
LauraLe
re : Polynome constant séparable ? 27-11-20 à 15:05

Oui pardon je suppose le corps de caractéristique nulle j'ai oublié de le préciser.
Je ne comprends pas ce que vous entendez par "tous cela a n'a aucun intérêt "

Oui je suis d'accord LeHibou,
il faut que P soit un polynôme contant non nul. Mais du coup est-ce que P est séparable ?

Posté par
mokassin
re : Polynome constant séparable ? 27-11-20 à 15:19

Parce que la séparabilité est absolument triviale sur un corps de caractéristique nulle.
Les polynômes irréductibles sont automatiquement séparables ainsi que toutes les extensions.

Et sinon, bien evidemment que les polynomes constants sont séparables.

Posté par
LeHibou
re : Polynome constant séparable ? 27-11-20 à 15:39

-> mokassin, je te trouve un peu dur avec LauraLe. Tu n'as pas précisé ton niveau dans ton profil (?), mais à te lire je le suppose assez élevé. LauraLe est en L2, et la L1 n'a pas dû être évidente compte tenu de la crise sanitaire. Ce qui est évident voire trivial pour toi ne l'est sans doute pas pour LauraLe que n'a peut-être jamais travaillé que des corps de polynômes autres que les extensions de , et . Peut-être pourrais-tu aider LauraLe en lui précisant ce que sont les corps de caratérisque 0, et comment cette donnée impacterait le présent sujet.

Posté par
LauraLe
re : Polynome constant séparable ? 27-11-20 à 16:23

Je vous remercie LeHibou mais ne vous inquiétez pas je ne l'avais pas du tout mal pris !
Pour information je suis en L3 mais le cours sur les caractéristiques et extensions etc je l'ai fait lundi donc j'ai pas encore tout assimilé ... mais cela viendra ! Et je comprends que ma question peut être bête et hyper simple donc il n'y pas de soucis pour ma part !

Je vous remercie mokassin pour ces informations supplémentaires , et aussi d'avoir répondu à ma question !

Merci à vous deux, bonne journée

Posté par
LeHibou
re : Polynome constant séparable ? 27-11-20 à 16:34

Posté par
mokassin
re : Polynome constant séparable ? 01-12-20 à 14:07

Je n'avais pas l'intention d'etre "dur".  Bien sur je n'avais l'intention de froisser personne.

Posté par
mokassin
re : Polynome constant séparable ? 01-12-20 à 14:16

Dans tous les cas, l'énoncé est vraiment louche.
Si c'est vraiment prouver que pgcd(P', P)=P implique que P est séparable, alors c'est totalement faux sur un corps de caratéristique non nulle, et dans le cas de caractéristique nul, ca ne concerne qu'un cas totalement trivial, celui de P constant.

C'est pgcd(P,P')=1 qui est équivalent à la séparabilité.



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