Polynôme cyclotomique

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Polynôme cyclotomique
Posté par 
Milka3  20-02-23 à 17:32
Bonjour,



je note  le n-ème polynôme cyclotomique et je note .

Je n'arrive pas à comprendre pourquoi \phi_n et \psi_n sont premiers entre eux ?

Pouvez-vous m'aider ?

D'avance merci !
 Posté par 
GBZMre : Polynôme cyclotomique  20-02-23 à 17:47
Bonjour,

Je suppose que  désigne l'ensemble des diviseurs de  ?

Alors que peux tu dire des racines de  et de celles de  ?
 Posté par 
Milka3re : Polynôme cyclotomique  22-02-23 à 14:35
Bonjour,

c'est bien cela,  sont les diviseurs de n.



Je perçois que ces deux polynômes sont sans racines complexes communs.



Mais je ne le vois pas. J'ai essayé avec n=4 et j'obtiens :

 avec  et . Et là, c'est visible.



Plus généralement, j'ai : . Le polynôme  est scindé simple sur . Et là, je manque d'argument pour dire que les polynômes  et  ne peuvent avoir de racines complexes communs.



 Posté par 
GBZMre : Polynôme cyclotomique  22-02-23 à 14:39
M'enfin ???

Soit  un polynôme scindé à racines simples, factorisé en . Est-ce que  et  peuvent avoir une racine en commun ?
 Posté par 
Milka3re : Polynôme cyclotomique  22-02-23 à 14:43
Ah p****

Je vois. Si P et Q avaient une racine en commun, alors P ne serait pas scindé  car il y aurait un facteur de degré > 1 !
 Posté par 
GBZMre : Polynôme cyclotomique  22-02-23 à 14:55
NON!!!

P ne serait pas à racines simples, car ...
 Posté par 
Milka3re : Polynôme cyclotomique  22-02-23 à 15:16
Arf, j'ai du mal.

S'il existe une racine commune à  et  alors celle-ci serait une racine double de , ce qui n'est pas.
 Posté par 
GBZMre : Polynôme cyclotomique  22-02-23 à 16:11
au moins double.
  Posté par 
Milka3re : Polynôme cyclotomique  24-02-23 à 15:29
Oui, merci beaucoup GBZM 