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Niveau Licence Maths 1e ann
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Polynôme d'endomorphisme

Posté par
Mathsterminal
28-03-17 à 18:32

Bonsoir à tous,

C'est pour une demande particulière donc pas de résolution d'exercice.

En fait, pour la préparation d'un contrôle de cours mon enseignant nous a donné comme consigne : "S'intéresser aux classes d'endomorphismes qui vérifie f : E E, tel que ei base de E avec f(e1) = f(e2) = ... = f(en) "
Le contrôle portera sur des démonstrations et concerne principalement le chapitre des polynômes d'endomorphismes.

Mon problème est que j'ai appris mon cours (qui comporte notamment les polynômes d'endo. ,  polynôme minimal, lemme des noyaux, sous espaces stables, réduction simultanée, théorème de Cayley Hamilton, décomposition de Dunford) mais je n'arrive pas vraiment à voir de lien entre mon cours et la consigne donné par l'enseignant.

Donc pour préparer au mieux mon contrôle, pourriez vous me donner des idées/conseils de ce pourrait contenir le contrôle ? Ou encore des liens direct entre ce type d'endomorphisme et les polynômes d'endomorphismes ?

Posté par
carpediem
re : Polynôme d'endomorphisme 28-03-17 à 20:21

salut

une seule devise : je m'attends à rien mais je suis prêt à tout !!! ce qui signifie penser son savoir plutôt que de réciter des savoirs ...

et (si tu t'es préparé intelligemment alors) avoir confiance en soi ...

Posté par
Mathsterminal
re : Polynôme d'endomorphisme 28-03-17 à 22:11

Merci à toi carpediem pour ton conseil

Mais j'imagine que si mon enseignant m'a donné une telle consigne avant le contrôle c'est qu'il faut tâter un peu sur ce terrain avant le contrôle..

Posté par
david9333
re : Polynôme d'endomorphisme 29-03-17 à 03:49

Pour répondre à la "question" mathématique : que peux-tu dire de l'image d'un tel endomorphisme ?

Une question qui pourrait se poser, dans ton thème, c'est à quelle condition un tel endomorphisme est-il diagonalisable ?
(pas vraiment besoin de polynômes d'endomorphisme, juste du polynôme caractéristique...)

Posté par
Mathsterminal
re : Polynôme d'endomorphisme 29-03-17 à 09:42

Bonjour david9333, merci pour ta réponse
Pourrais tu m'en dire plus sur cette condition car je ne vois pourquoi seul le polynôme caractéristique suffirait pour diagonaliser (si j'ai bien compris) ?

Posté par
carpediem
re : Polynôme d'endomorphisme 29-03-17 à 11:45

f(e_1) = f(e_2) = ...= f(e_n) = u

... et tout en découle : le noyau et l'image sont évidentes ....

Posté par
david9333
re : Polynôme d'endomorphisme 29-03-17 à 13:38

Effectivement, vu que l'on connait le noyau et l'image, on peut donner facilement une CNS de diagonalisabilité.

Ce à quoi je pensais sinon (mais c'est plus un raisonnement matriciel) :
Avec les notations de carpediem, on distingue deux cas :
- u=0 alors f=0 et il n'y a pas grand chose d'intéressant à dire

- u<>0 alors f est de rang 1, Ker(f) est donc de dimension n-1. Quelles valeurs peut prendre la multiplicité de 0 comme racine du polynôme caractéristique ? n-1 ou n.
Si tr(f)=0, alors la dernière valeur propre de f est encore 0, donc f est nilpotente, donc non diagonalisable.
Si tr(f)<>0, alors c'est une valeur propre de f. Alors le polynôme caractéristique de f est scindé et dim(Ker(f))=n-1=multiplicité de 0, et dim(Ker(f-tr(f)Id))=1=multiplicité de tr(f). Donc f est diagonalisable.

On trouve évidemment la même CNS qu'avec la méthode "plus géométrique"

Posté par
jsvdb
re : Polynôme d'endomorphisme 29-03-17 à 14:57

carpediem @ 28-03-2017 à 20:21

une seule devise : je m'attends à rien mais je suis prêt à tout !!! ce qui signifie penser son savoir plutôt que de réciter des savoirs ...
et (si tu t'es préparé intelligemment alors) avoir confiance en soi ...

Je suis 200% d'accord (c'est ce que j'essaye de faire ici, penser le savoir) et tu as résumé en 3 lignes ce que tu vas expérimenter en une vie. Cette réflexion ne peut émaner que d'une personne qui a déjà un certain vécu derrière elle.
Demander la même chose à un étudiant me semble un peu prématuré car demande du temps mais c'est précisément le boulot (entre autre) des éducateurs que faire passer les éduqués du par coeur au pensé. (d'ailleurs éduquer vient de latin ex ducecre : conduire hors de ...)

Posté par
carpediem
re : Polynôme d'endomorphisme 29-03-17 à 15:33

jsvdb :: c'est déjà la devise que j'appliquais au lycée (mais faut dire que j'ai eu un prof exceptionnel (donc qui est une exception !!! et ce n'est pas pour rien que j'insiste) mais trop long à expliquer ici)

mais je n'en étais évidemment pas conscient à cette époque ... c'est bien plus tard que je l'ai réellement formalisé et verbalisé ...


pour poursuivre sur le travail de david9333dans le cas non trivial u <> 0

il est évident que f(e_1 - e_2) =f(e_1 - e_3) = ... f(e_1 - e_n) = 0

(f_i) = (e_1 -e_i) pour 1 < i =< n est libre et engenrdre Ker f

il reste à regarder ce qui se passe pour u en fonction des f_i

on regarde alors f(u)

f(u) = f(\sum u_i e_i) = (\sum u_i)u donc \sum u_i est valeur propre et on conclut suivant la nullité ou non de cette valeur propre ....

Posté par
Mathsterminal
re : Polynôme d'endomorphisme 30-03-17 à 10:02

Bonjour,

Merci beaucoup pour vos explications carpediem et david9333, je comprend mieux.

J'ai eu le droit à plus d'indication concernant le contrôle il faudra entre parler (le trouver) de polynôme caractéristique, polynôme minimal et décomposition de Dunford. Mon nouveau problème concerne ce dernier je n'ai aucune idée de comment trouver une décomposition de dunford avec un tel endomorphisme..
Avez vous des indications/méthodes?

Posté par
Mathsterminal
re : Polynôme d'endomorphisme 30-03-17 à 10:05

Mathsterminal @ 30-03-2017 à 10:02

Bonjour,

Merci beaucoup pour vos explications carpediem et david9333, je comprend mieux.

J'ai eu le droit à plus d'indications concernant le contrôle il faudra entre autres parler (le trouver) de polynôme caractéristique, polynôme minimal et décomposition de Dunford. Mon nouveau problème concerne ce dernier je n'ai aucune idée de comment trouver une décomposition de dunford avec un tel endomorphisme..
Avez vous des indications/méthodes?


Désolé pour les fautes

Posté par
Mathsterminal
re : Polynôme d'endomorphisme 30-03-17 à 10:10

Lorsque f est diagonalisable on peut avoir f=fn+fd mat f= matrice nul + mat f

La matrice nul étant nilpotente et f diagonalisable

Est ce juste ?

Posté par
Mathsterminal
re : Polynôme d'endomorphisme 30-03-17 à 10:14

Et lorsque f nilpotente on peut avoir f=fn+fd   mat f= mat f + mat identité

La matrice identité étant diagonale et la matrice f nilpotente

Posté par
david9333
re : Polynôme d'endomorphisme 30-03-17 à 10:24

Attention, pour la nilpotente : f est nilpotente donc f=0+f est la décomposition de Dunford !

Si tu n'as pas vu de méthode en cours, alors on te demandra probablement pas beaucoup plus que donner la décomposition de dunford d'une matrice diagonalisable ou nilpotente comme tu l'as fait ci-dessus.
Il existe des algorithmes pour. calculer cette décomposition mais c'est un peu lourd...

Par contre, c'est utile dans de nombreux problèmes théoriques, donc il faut connaître le théorème !

Posté par
Mathsterminal
re : Polynôme d'endomorphisme 30-03-17 à 10:30

Ah oui en effet dans ma tete j'avais fais le produit au lieu de la somme. Merci beaucoup.

Oui je n'ai pas vu de méthode, je me suis uniquement basé des définition et propriété du cours.

Posté par
Mathsterminal
re : Polynôme d'endomorphisme 30-03-17 à 10:52

Je me trompe peut etre mais lorsque u=0 on a f=0, peux t on dire que f est le polynôme minimal dans ce cas là ( le polynôme caractéristiques étant a racine simple)  ? Et que peux t on dire à propos du polynôme minimal dans le cas où u<>0 je ne vois pas .. ?

Posté par
luzak
re : Polynôme d'endomorphisme 30-03-17 à 17:39

Bonsoir !
Tu as déjà dit que u est diagonalisable !
Dans ce cas le polynôme minimal doit être scindé, à racines simples.
Les racines sont forcément les valeurs propres de u et il n'y en a que deux : 0 et une valeur propre non nulle \alpha.
Le polynôme minimal est donc X(X-\alpha).
De plus carpediem t'a déjà dit que si u(e_k)=u_ke_k alors \alpha=\sum_{1\leqslant k\leqslant n}u_k.

Pour la décomposition de Dunford il suffit de chercher un vecteur propre associé à \alpha. Je crois que x=\sum_{1\leqslant k\leqslant n}u_ke_k fait l'affaire.
Tu as donc une base de diagonalisation et, par changement de bases, l'écriture "diagonalisable + nilpotent " qui commutent (cette condition est indispensable et son oubli fait écrire des bêtises du genre " je trigonalise puis prends la matrice diagonale trouvée et ce qui reste" . Cela fait une somme de diagonalisable+nilpotent mais pas toujours la décomposition de Dunford !)



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