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Niveau Maths sup
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Polynôme d'interpolation de Lagrange

Posté par
QuentinDelon1
15-01-22 à 15:08

Bonjour voici un exercice bien connu (à noter que je suis en PCSI donc cette notion n'est pas directement dans mon cours )

Polynômes d'interpolation de Lagrange

1) Soit n, n2, soient a_{1},....,a_{n} des éléments distincts de . On pose

k[1,n], P_{k}=\prod_{j=1/j\neq k}^{n}{\frac{X-a_{j}}{a_{k}-a_{j}}}

a) Quel est le degré du polynôme P_{k} pour k[1,n] (entiers) ?

J'en ai déduis que le degré était au plus de n-1 car pour chaque k fixé, un des éléments du produit ne sera pas calculé car j=k.

b) Calculer (k,r)[1,n]²,P_{k}(a_{r})

Mais ici, je ne vois pas du tout quoi calculer, à vrai dire, à part remplacer X par a_{r} ?


Merci d'avance pour votre aide  ! Je communiquerai sûrement la suite après coup !

Posté par
GBZM
re : Polynôme d'interpolation de Lagrange 15-01-22 à 15:16

Bonjour,

Exactement, calculer P_k(a_r) c'est remplacer X par a_r dans P_k, et voir ce que ça donne (a priori, on peut penser que pas mal de choses vont se simplifier ).

Posté par
QuentinDelon1
re : Polynôme d'interpolation de Lagrange 15-01-22 à 17:05

Ah mais je me rends compte qu'à un moment a_{r}-a_{j} =0
lorsque que r=j ainsi P_{k}(a_{r})=0 .

Posté par
QuentinDelon1
re : Polynôme d'interpolation de Lagrange 15-01-22 à 17:14

Voici la question suivante :

c) Soit (b_{1},..,b_{n})n, montrer qu'il existe un unique polynôme Pn-1[X] tel que
[1,n], P(a_{r})=b_{r}


Pourriez vous me donner une piste de réflexion ? J'ai envie d'utiliser :
P=P(a_{r})=\sum_{k=0}^{n}{a_{k}a_{r}^{k}} mais ensuite

Posté par
GBZM
re : Polynôme d'interpolation de Lagrange 15-01-22 à 17:20

QuentinDelon1 @ 15-01-2022 à 17:05

Ah mais je me rends compte qu'à un moment a_{r}-a_{j} =0
lorsque que r=j ainsi P_{k}(a_{r})=0 .

Non, pas toujours. Fais plus attention.

Posté par
QuentinDelon1
re : Polynôme d'interpolation de Lagrange 15-01-22 à 17:45

Ahhh ! Dans le cas où r=k, jk donc j r

Ainsi si :
kr P(ak)=0
k=r P(ak) n'est pas simplifiable ?

Posté par
GBZM
re : Polynôme d'interpolation de Lagrange 15-01-22 à 17:50

Regarde avec soin ce que vaut P_k(a_k).

Posté par
QuentinDelon1
re : Polynôme d'interpolation de Lagrange 15-01-22 à 18:45

Non je ne vois pas ce que je peux simplifier ?

Posté par
GBZM
re : Polynôme d'interpolation de Lagrange 15-01-22 à 19:19

Bah bah bah ...
Reprends ta formule pour P_k et regarde ce qui se passe quand tu remplaces X par a_k.
Si tu ne vois pas, consulte un ophtalmo !

Posté par
verdurin
re : Polynôme d'interpolation de Lagrange 15-01-22 à 19:59

Pour voir un peu mieux tu peux regarder une petite valeur de n.
Par exemple pour n=3 on a

P_1(X)=\dfrac{(X-a_2)(X-a_3)}{(a_1-a_2)(a_1-a_3)}

Tu peux alors calculer facilement P_1(a_1),\ P_1(a_2),\  P_1(a_3) puis généraliser.

Posté par
QuentinDelon1
re : Polynôme d'interpolation de Lagrange 16-01-22 à 08:43

J'en déduis 4 choses :

Si r<n et r\neq k alors P_{k}(a_{r})=0
Si r>n et r\neq k alors P_{k}(a_{r})  a n-1 termes
Si  r>n et r= k alors P_{k}(a_{r}) a n termes
Si  r<n et r= k alors P_{k}(a_{r}) <0 ?? On n'a pas le droit de considérer que a1<a2 par exemple donc je ne peux pas conclure

Posté par
QuentinDelon1
re : Polynôme d'interpolation de Lagrange 16-01-22 à 08:46

QuentinDelon1 @ 15-01-2022 à 17:14

Voici la question suivante :

c) Soit (b_{1},..,b_{n})n, montrer qu'il existe un unique polynôme Pn-1[X] tel que
[1,n], P(a_{r})=b_{r}


Pourriez vous me donner une piste de réflexion ? J'ai envie d'utiliser :
P=P(a_{r})=\sum_{k=0}^{n}{a_{k}a_{r}^{k}} mais ensuite


Fixe ton k à 1 dans cette partie ?

Posté par
GBZM
re : Polynôme d'interpolation de Lagrange 16-01-22 à 11:35

Tu n'as toujours pas tiré au clair ce qu'est P_k(a_k). C'est vraiment incompréhensible que tu ne le voies pas !

\large P_k(x)  = \prod_{j\neq k} \dfrac{x-a_j}{a_k-a_j}

Que vaut  \dfrac{x-a_j}{a_k-a_j} quand on fait x=a_k ? Que vaut P_k(a_k) ?

Posté par
QuentinDelon1
re : Polynôme d'interpolation de Lagrange 16-01-22 à 15:08

De ce fait, si

QuentinDelon1 @ 16-01-2022 à 08:43

J'en déduis 4 choses :

Si r<n et r\neq k alors P_{k}(a_{r})=0
Si r>n et r\neq k alors P_{k}(a_{r})  a n-1 termes
Si r= k alors P_{k}(a_{r}) = 1

Posté par
QuentinDelon1
re : Polynôme d'interpolation de Lagrange 16-01-22 à 15:10

Pouvez vous s'il vous plait m'indiquer comment je peux avancer sur la 3eme question , je n'arrive pas à aller plus loin.

Posté par
GBZM
re : Polynôme d'interpolation de Lagrange 16-01-22 à 15:24

Formule d'abord correctement la réponse à la question sur P_k(a_r). Tu as visiblement oublié que l'énoncé précise que k et r sont tous les deux des entiers entre 1 et n.

Posté par
QuentinDelon1
re : Polynôme d'interpolation de Lagrange 16-01-22 à 15:27

Certes, mais  qu'est ce que ça change à mes réponses ?

Posté par
GBZM
re : Polynôme d'interpolation de Lagrange 16-01-22 à 15:29

Relis tes réponses.

Posté par
QuentinDelon1
re : Polynôme d'interpolation de Lagrange 16-01-22 à 15:37

Ecoutez, j'ai beau relire je ne comprends toujours pas, c'est bien pour ça que je demande de l'aide....

Posté par
GBZM
re : Polynôme d'interpolation de Lagrange 16-01-22 à 16:01

Dans tes réponses, il n'y a pas le cas r=n et tu fais un distinguo r<n / r>n qui montre que tu n'as pas lu correctement l'énoncé.
Mais si tu penses que tout est très bien dans ce que tu écris, mets ça dans ta copie et tu verras comment tu seras noté ...

Est-ce si compliqué d'écrire que P_k(a_r) vaut 1 si r=k et 0 sinon ?

Posté par
Razes
re : Polynôme d'interpolation de Lagrange 16-01-22 à 16:43

Bonjour,

Ou de fire que P_k (a_r)=\delta_{kr}; avec : \delta_{kr} symbole de Kroneker.

Posté par
Razes
re : Polynôme d'interpolation de Lagrange 16-01-22 à 20:29

Razes @ 16-01-2022 à 16:43

Bonjour,

Ou d'écrire que P_k (a_r)=\delta_{kr}; avec : \delta_{kr} symbole de Kroneker.

Posté par
QuentinDelon1
re : Polynôme d'interpolation de Lagrange 16-01-22 à 20:46

Je n'ai absolument pas la prétention de dire que ce que j'ai dit est bon. Merci de m'avoir aidé j'ai compris mon erreur qui, tiens ! Peut arriver.

Posté par
GBZM
re : Polynôme d'interpolation de Lagrange 16-01-22 à 21:11

Errare humanum est, perseverare diabolicum.

Pour le c :
On peut prouver l'existence en utilisant la question b) et une combinaison linéaire bien choisie de P_k.
Pour prouver l'unicité, on peut supposer qu'on a deux tels polynômes P et Q, et regarder ce qu'on peut dire de la différence P-Q.



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