Bonjour

Si un polynome a k>n racines, il pourra se factoriser en k monômes de degré 1, et sera de degré supérieur ou égal à k, donc supérieur à n

Bonjour
développe un produit de n+p facteurs du style , et regarde le degré obtenu ....
(et si ta question suivante est : comment on montre que a est racine de P si et seulement si on peut mettre (x-a) en facteur dans P, la division euclidienne est une piste)

Si P  est de degré 1 , il est de la forme a(X - b)   où a   0 donc il  a 1 racine( mais pas 2 =

Soit n un entier > 1 tel que tout   A   K_n[X] ait n racines ou plus .
Soit  P K_n+1[X] .
   S'il a une racine au moins il est de la forme (X - a)Q où Q K_n[X] et il a 1 + n racines au plus .

Il manque quand même l'argument principal, l'intégrité de K, enfin il est implicite dans les preuves présentées ici, mais je me permet de le signaler car sans cela le résultat est bien entendu faux.

@Poncargues.
Je ne connais pas de corps qui ne soit pas intègre.

Ben oui, c'est bien ce que je dis, c'est parce que K est intègre que dans K[T] tout polynome admet moins de racines que son degré.

il était quand même explicitement précisé dès le premier post que K désignait comme d'habitude un corps ....

Peut etre ma remarque était exprimée de manière trop elliptique. Je voulais dire que l'argument clé c'est que K est intègre et cela n'apparait pas (explicitement) dans  les preuves proposées. A les lire, on pourrait croire que le résultat est vrai sur tout anneau. Or c'est bien sur faux, cela fonctionne ssi l'anneau anneau est intègre.

mais bonté divine, tu as lu la question ? il y est question d'anneau ? une des hypothèses est quand même "si K est un corps" !

Le début de l'énoncé :

Mais.... vous avez lu la mienne.
Je sais que K est un corps.
Dans cette preuve

et où aurait-on insinué que K puisse ne pas en être un ? Dans tout ce fil K est un corps, point barre !

Mais... c'est incroyable ça.
Oui K est un corps.
Cela intervient où dans vos preuves?
Vous ne l'utilisez jamais de manière explicite.

Je ne dis pas que les preuves sont fausses, elles passent sous silence l'argument clé, c'est tout.

Si je comprends bien les arguments de Poncargues il faudrait, pour chaque exercice concernant un corps, rappeler les axiomes d'un corps   ?
Parce que dans les démonstrations données et contestées, on devrait aussi rappeler que dans un corps il y a distributivité de la multiplication par rapport à l'addition (me semble aussi "clé" que l'intégrité) etc...

Bonjour

Non, selon Poncargues, pour rédiger la démonstration d'un résultat mathématique, il faut utiliser à un moment, dans sa preuve, toutes les hypothèses de son énoncé...

Ah bon !
Alors où est l'utilisation de "tout élément non nul est inversible" hypothèse implicite figurant dans l'énoncé ?

Ben... cela intervient dans le fait que le degré d'un produit de polynôme est la somme des degrés. Ce qui est faux en général. C'est vrai ici car K est intègre.

Apres c'est juste que quand je rédige perso, je fais en sorte de montrer où sont utilisées les hypothèses nécessaires cruciales à la conclusion.

Dans tout anneau si a est une racine d'un polynôme P, on peut ecrire P sous la forme (T-a)Q, ce qui fait marcher la preuve c'est bien le fait qu'on puisse déduire que le degré de Q est strictement plus petit que celui de P, et pour ca faut une hypothèse sur l'anneau de base. L'intégrité en l'occurrence, qui ici est assurée par le fait que K est un corps je suis bien d'accord.

Bref.

Bonjour à tous et merci pour vos nombreuses réponses.

Il faut que je soutienne Poncargues car j'ai pensé en particuliers au cas où on aurait un anneau polynomial avec des coefficient dans un anneau non intègre qui pourrait avoir un degré n mais plus de n racines. Mais je ne voyais pas exactement où utiliser l'intégrité. Il y a plusieurs choses qui ont été énoncées sur cette page mais qui pour moi n'expliquaient pas vraiment ce qui se passait.
Plusieurs personnes m'ont rappelé que si un élément a est une racine d'un polynôme p(x), alors on peut écrire p(x) comme (x-a)q(x) pour un certain polynôme q(x). Pourquoi est-ce le cas? J'ai regardé la page wikipédia de cette division Euclidienne, mais je ne vois pas exactement comment obtenir l'existence du quotient et du reste. C'est j'imagine à ce moment que l'intégralité doit intervenir. Pour l'existence, je suppose qu'il s'agit d'une application du lemme de Zorn et de quelque chose avec un degré mais je ne vois pas exactement comment procéder.
Pourriez-vous m'en dire plus?

Il n'y a pas de division euclidienne pour un polynome sur un anneau quelconque en general.

Pour etablir la propriété tu peux remarquer que , ce qui est vrai dans n'importe quel anneau des que a et T commute.

Du coup si ton polynome f s'ecrit et admet a comme racine tu as et tu peux mettre un (T-a) en facteur dans chacun des termes de la somme par l'identité de plus haut.

Correction du tex:

L'intégrité intervient dans ce que j'ai dis plus haut, si tu as deux polynomes sur un anneau non intègre il se peut que deg(fg) ne soit pas égal à deg(f)+deg(g), du coup tu ne peux pas faire fonctionner l'argument plus haut.

Par exemple si a est un diviseur de zero, alors le polynome aT possède au moins 2 racines et est de degré 1.

Merci beaucoup pour ta réponse Poncargues. Je m'excuse du retard de ma réponse. Cette semaine, j'avais pas mal à faire avec le boulot.
Ce que tu expliques est précisément la partie qui me manquait et ça répond à la question initiale de ce poste. Mais  pendant que j'y suis, est-ce que j'oserais demander si qqn aurait une référence pour la preuve de l'existence du quotient et du reste dans la division pour des polynômes avec coefficient dans des anneaux intègres?

Bonjour

Tu peux commencer par ceci

Tu y trouves des renvois à des situations un peu plus générales.

Il n'y a pas nécéssaire de division  (meme "non euclidienne) dans un anneau de polynome sur un anneau intègre.
Par exemple sur Z[X], tu n'as pas de division de X par 2 par exemple.
Tu ne pourrais jamais écrire X=2a+b avec deg(b)<0.
Un autre exemple du meme tonneau est donné par k[X,Y] que tu vois comme l'anneau des polynome à coefficient dans k[Y].

Par contre si f est un polynome a coeff dans A et si a est un element de A tu peux toujours écrire que avec des a_i unique, cela vient essentiellement de la définition et du fait que T->T-a est un automorphisme de l'algèbre des polynomes (d'inverse donné par T->T+a).
Au passage tu retrouves le résultat précédent en écrivant ton f sous la forme et un calculant f(a) tu obtiens tout de suite que a_0 est nul et donc que f est dans (T-a).

Merci à tous pour vos réponse et votre patience. Non seulement vous avez répondu à ma question, mais vous m'avez fait réaliser certains détails lié à cette division Euclidienne. Hier j'ai réalisé que si l'on utilise l'hypothèse que les coefficients des polynômes sont dans un corps (et pas juste un anneau intègre) la preuve de l'existence et unicité du quotient et du reste est facile: on peut construire les polynôme de la même manière qu'on trouve le quotient et le reste avec les nombres naturels, comme on apprend à l'école primaire. Je trouve intéressant la remarque de Poncargues qui souligne en effet que l'existence du reste et du quotient n'est pas garantie dans n'importe quel anneau intègre. Et comme sa preuve ne repose que sur l'intégrité, il me semble qu'il s'agit donc de la manière la plus appropriée de montrer le résultat qui m'intéressait.

Encore une fois un grand merci à vous tous! Après toutes ces années, je suis toujours ébahi par la facilité avec laquelle on obtient des réponses de qualité sur ce forum.

Bon dimanche!