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Niveau Reprise d'études
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Polynôme de Lagrange ?

Posté par
Milka3
17-07-21 à 13:16

Bonjour,
je fais un blocage dans l'exercice qui suit. On considère :

n\in\mathbb{N}
E=\mathbb{R}_n[X]
F_i=\{P\in E\mid \forall j\in\{1,...,n\},P(j)=0\}

Je dois montrer que ces espaces sont en supplémentaires.

Je montre qu'ils sont en somme directe en prouvant l'implication P_1+...+P_n=0 \Rightarrow P_1=...=P_n=0. Ceci, c'est ok.

Ensuite, je cherche à prouver que tout vecteur de E peut s'écrire comme la somme P_1+...+P_n avec P_i\in F_i.

Le blocage est là. Par analyse/synthèse, j'écris P=P_1+...+P_n avec P_i\in F_i.

Du fait que P_i(i)=P(i), alors je pense au polynôme interpolateur de Lagrange :

Si P(x_j)=y_j alors P=\sum_{i=0}^ny_i\prod_{j\neq i}\frac{X-x_j}{x_i-x_j}.

Ici, P_i(i)=P(i), donc je pense écrire :
P_i=\sum_{i=0}^nP(i)\prod_{j\neq i}\frac{X-j}{i-j}.

Est-ce correct ?

Merci d'avance de votre aide

Posté par
Zrun
re : Polynôme de Lagrange ? 17-07-21 à 14:31

Bonjour ,
là tu as deux polynômes qui coïncident en n points et de degré n et ce n'est pas forcément vrai qu'ils sont égaux car …
Il faut que rajoutes une hypothèse sur P pour pouvoir conclure !

Posté par
GBZM
re : Polynôme de Lagrange ? 17-07-21 à 14:54

Bonjour,

Revenons au début. Qu'est-ce que ce i dans la définition de F_i ???  Je ne vois aucun i à droite du signe =.

Peux-tu donner l'énoncé correct ?

Posté par
Milka3
re : Polynôme de Lagrange ? 17-07-21 à 17:19

Oups, oui, voici la bonne définition :

F_i = \{P\in E\mid \forall j\in\{1,...,n\}\setminus i, P(j)=0\}

Désolé !

Posté par
Zrun
re : Polynôme de Lagrange ? 17-07-21 à 17:34

Peut-être que mon indication n'était pas assez éclairante .
Quand est-ce qu'un polynôme de degré n est nul ?

Posté par
Milka3
re : Polynôme de Lagrange ? 17-07-21 à 18:20

Oups, pardon.
Un polynôme possédant plus de racines que son degré est le polynôme nul. Je dirais donc s'il y a n+1 racines ?

Posté par
verdurin
re : Polynôme de Lagrange ? 17-07-21 à 19:30

Bonsoir,
je crois que la bonne définition est

F_i = \{P\in E\mid \forall j\in\{{\color{red}0},\dots ,n\}\setminus\{ i\}, P(j)=0\}

Une base de \R_n[X] a n+1 éléments, avec les notations usuelles.

Posté par
Zrun
re : Polynôme de Lagrange ? 17-07-21 à 23:43

Milka3 @ 17-07-2021 à 18:20

Oups, pardon.
Un polynôme possédant plus de racines que son degré est le polynôme nul. Je dirais donc s'il y a n+1 racines ?


Oui exactement .
Ici le problème c'est que P-\sigma P_i n'a que n racines (les entiers entre 1 et n) .
D'où la remarque de verdurin

Posté par
Zrun
re : Polynôme de Lagrange ? 17-07-21 à 23:43

Lire P - \sum P_i évidemment

Posté par
Milka3
re : Polynôme de Lagrange ? 21-07-21 à 10:50

Bonjour,
Oui verdurin, je me suis trompé : c'est bien la bonne définition !

J'essaye de reprendre mon raisonnement de départ. Est-ce qu'introduire ce polynôme est une bonne idée ?

P_i=\sum_{i=0}^nP(i)\prod_{j\neq i}\frac{X-j}{i-j}

Posté par
verdurin
re : Polynôme de Lagrange ? 21-07-21 à 22:06

Introduire les polynômes

\prod_{j\neq i}\frac{X-j}{i-j}

me semble en effet une bonne idée.

Posté par
GBZM
re : Polynôme de Lagrange ? 22-07-21 à 07:36

Bonjour,

Tu as décidément des problèmes avec les indices ! Dans ton dernier message, tu écris à gauche de ton égalité P_i (avec l'indice i) et à droite une expression où i est variable muette (elle sert à indexer la somme, on peut la remplacer par n'importe quelle autre lettre différente de j sans changer la somme), et donc ne dépend pas de i.

Tu auras inévitablement du mal à raisonner si tu n'es pas plus au clair là-dessus.



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