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Polynome de plus petit degré

Posté par
vicinet 27-04-20 à 10:55

Yo tout le monde !

Alors voilà, j'ai envoyé un travail à un prof, voici d'abord ce que j'ai envoyé et le sujet :

1° Montrer que w = e^{i\Pi /3} est une racine de X^6-1
Aucun problème pour résoudre cela

2° Factoriser X^6-1 en produit d'irréductibles dans C[X] puis dans R[X]
Pas de soucis non plus, on trouve dans C[X] : P(X) = (X-1)(X-e^{i\Pi /3})(X-e^{2i\Pi /3})(X-e^{3i\Pi /3})(X-e^{4i\Pi /3})(X-e^{5i\Pi /3})
Et dans R[X] : P(X) = (X-1)(X+1)(X^2+X+1)(X^2-X+1)

3° Déterminer le polynome unitaire P de plus petit degré à coefficient dans IR qui vérifie P(w)=0
Bon bah d'après la question 2, je vais trouver un diviseur de ce polynome qui sera un polynome annulateur de w

Je teste les polynômes de degré 1 possibles :
--> P(x) = X-1 sauf que P(w)= w-1\neq 0
--> P(x) = X+1 sauf que P(w)= w+1\neq 0

Donc je teste les polynômes de degré 2 possibles :
--> P(x) = (X-1)(X+1) sauf que P(w)= w^2-1\neq 0
--> P(x) = X^2+X+1 sauf que P(w)= w^2+w+1\neq 0
--> P(x) = X^2-X+1 sauf que P(w)= w^2-w+1\neq 0

Donc je teste les polynômes de degré 3 possibles :
-->P(x) = (X^2-X+1)(X+1) et en effet P(w)= w^3+w^2-w^2-w+w+1= 0

Parfait, j'envoie ça au prof, et il me répond :Le polynôme que tu as trouvé annule bien la racine, mais ce n'est pas celui de plus bas degré.

Donc là je comprends pas, j'ai pourtant testé, ai-je fait une erreur de calcul ? Ou peut-être le polynome en question n'a rien à voir avec la question 2, mais je ne l'ai pas trouvé non plus.

Quelqu'un pour m'aider ?

Posté par
lionel52re : Polynome de plus petit degré 27-04-20 à 11:14

Hello! Ton P s'exprime sous la forme Q*R

Or un produit nul signifie que....

Donc ...

Posté par
carpediemre : Polynome de plus petit degré 27-04-20 à 11:15

salut

je ne vois pas l'intérêt de tester un polynome de degré 1 ... puisque w n'est pas réel !!!

il est évident que w^3 = -1 donc le polynome est au plus de degré trois et divise x^3 + 1

or x^3 + 1 = x^3 - (-1)^3 = (x + 1) (x^2 - x + 1)

or w n'annule pas x + 1

Citation :
Donc là je comprends pas, j'ai pourtant testé, ai-je fait une erreur de calcul ?
peut-être reprendre tes calculs effectivement ...

Posté par
vicinetre : Polynome de plus petit degré 27-04-20 à 11:24

Salut, je suis bien d'accord avec vous deux ! Mais je ne vois pas alors comment simplifier et trouver que x^2-x+1 = 0

Posté par
lionel52re : Polynome de plus petit degré 27-04-20 à 11:32

Soit tu le fais à la main en explicitant w...

Soit tu reprends ce qu'a écrit carpediem il a tout dit

Posté par
vicinetre : Polynome de plus petit degré 27-04-20 à 11:35

Oui je comprends l'astuce de dire que comme c'est pas l'un c'est l'autre,  aucun soucis la dessus !

Mais c'est en explicitant à la main w, on sait juste que w = e^iTT/3, donc on a le calcul :

e^2iTT/3 + e^iTT/3 + 1, mais je vois vraiment pas comment simplifier

Posté par
lionel52re : Polynome de plus petit degré 27-04-20 à 11:45

Bah ça veut dire quoi e^{i\pi/3}

Posté par
vicinetre : Polynome de plus petit degré 27-04-20 à 11:50

Eh bien je connais sa forme trigonométrique : cos(1/2) +isin(√3/2)

Posté par
lionel52re : Polynome de plus petit degré 27-04-20 à 11:51

Euhhh????

Posté par
vicinetre : Polynome de plus petit degré 27-04-20 à 11:53

Euh pardon pardon ! 1/2 + i√3/2 pour sa forme algébrique et cos(TT/3) + isin(TT/3) !

Posté par
lionel52re : Polynome de plus petit degré 27-04-20 à 11:56

Ok bah continue

Posté par
vicinetre : Polynome de plus petit degré 27-04-20 à 11:57

Oh oui c'est bon !! Merci beaucoup !

Posté par
carpediemre : Polynome de plus petit degré 27-04-20 à 12:32

de rien


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