Niveau orientation

Polynôme du second degré avec paramètre

Posté par
pppa 02-12-25 à 11:15

Bonjour

Ci-dessous le texte d'un problème que je ne parviens pas à conclure :

Soit un réel m et f  la fonction trinôme :  f(x) = m.(x+2).(mx-3) + (x+1).(x+m²+9)

1/ déterminer les réels f(0) et f(-2) :

     je trouve : f(0)  = (m-3)²  et  f(-2) = -(m²+7) ; j'en conclus déjà que : $\forall$ m $\in \mathbb{R}$ , f(0) $\ge$ 0 et f(-2) $\le$ -7

2/ en déduire que :   $\forall$ m $\in \mathbb{R}$ l'équation f(x) = 0 a dans $\mathbb{R}$ deux solutions distinctes.

C'est là que je ne parviens pas à faire la déduction à partir des valeurs calculées pour f(0) et f(-2)...

Pour que l'équation ait deux solutions réelles distinctes, il faut que le discriminant du premier membre soit strict. positif. En développant f(x), j'obtiens un polynôme de degré 4 qui n'est pas 'bicarré', et qui ne se factorise pas (ce qui ne me surprend pas puisqu'il est censé être toujours strict. positif pour toute valeur de m... ; j'ai tracé la courbe de la fonction 'discriminant' sur un logiciel, effectivement elle semble être toujours à valeurs positives - sur mon intervalle choisi en tout cas   [-50 ; +50] -).

Alors comment à partir de la question faire la déduction demandée à la question 2

Merci par avance pour votre aide.

Posté par re : Polynôme du second degré avec paramètre 02-12-25 à 12:04

salut

pppa @ 02-12-2025 à 11:15

En développant f(x), j'obtiens un polynôme de degré 4

faux

et as-tu tracé la courbe d'un polynome du second degré tel que f(-2) = p < 0 et f(0) = q > 0 ?

Posté par re : Polynôme du second degré avec paramètre 02-12-25 à 12:13

Je me suis mal exprimé, c'est le discriminant de f(x) qui me conduit à un polynôme de degré 4.

Merci

Posté par re : Polynôme du second degré avec paramètre 02-12-25 à 12:50

Bonjour,

Mas on n'a pas besoin du discriminant : vous avez une fonction continue tel que f(-2)<0 et f(0)>0, que peut-on dire de la solution de f(x)=0 ?

Posté par re : Polynôme du second degré avec paramètre 02-12-25 à 12:55

bonjour,
en attendant le retour de carpediem, que je salue :

travailler le discriminant est compliqué et inutile.
f(x) est un polynôme du second degré, sa représentation graphique est une parabole telle que f(-2) < 0 et f(0) > 0 ...
N'y a-t-il pas moyen d'en déduire l'existence d'une racine ?

Posté par re : Polynôme du second degré avec paramètre 02-12-25 à 13:02

D'autant plus que le coefficient de x² est m²+1>0

Posté par re : Polynôme du second degré avec paramètre 02-12-25 à 18:22

Bonjour,
Une remarque : f(0) > 0 est faux si m = 3.
On peut choisir de traiter ce cas à part ou utiliser l'existence d'au moins une racine sur ]-2 ; 0].
Et trouver une autre racine avec la remarque de sanantonio312.

PS Pourquoi poster dans "Orientation" ?

Posté par re : Polynôme du second degré avec paramètre 03-12-25 à 19:27

il semble que pppa a disparu ?

pour le dire autrement :

si f(0) = 0 et f'(0) = 0 (pour dire simplement que 0 est racine double ) alors -3 annule non seulement le terme constant : f(0) = 0 mais aussi le coefficient de x : f'(0) = 0