Bonjour à tous
Les problèmes de polynômes sont souvent faciles quand on les attaque par le bon bout .
Les polynômes et
vérifient l'une ou l'autre des égalités suivantes :
et
.
Mais existe-t-il un polynôme à coefficients entiers vérifiant les deux égalités ?
Imod
Salut Carpediem
Le "donc" est ultra light mais bien vu , après il faut trouver le bon angle d'attaque
Imod
si on considère mon polynome P (avec les coefficients rationnels)
alors tout polynome avec
(avec Q non constant bien sûr) sera solution mais peut-on trouver Q tel que PQ soit à coefficients entiers
j'en doute fortement ...
Oui Mathafou , l'idée est de séparer les termes d'exposants pairs et impairs . On peut exprimer les choses un peu plus simplement en écrivant sous la forme
et noter qu'il y a un problème avec
. On peut multiplier les exemples à l'infini avec
et
et une mauvaise congruence pour
ou
.
Imod
effectivement ... et
et pour résumer cela : est algébrique sur
lorsque b n'est pas un rationnel carré
et pour obtenir une solution dans le coefficient dominant doit être 1 (ce qui n'est pas le cas de "mon" polynome du second degré ...
Pour moi les différents éléments : a , b , c , ... étaient des entiers et b n'était pas un carré parfait . On peut donner certaines conditions nécessaires pour l'existence de P :
c/a=c' et f/e=f' doivent être entiers et g-d et c'-f' doivent être divisibles par (a²-e²)b . Est-ce suffisant ?
Imod
salut
un polynôme d'interpolation de Lagrange construit à partir des coordonnées fournies indique que ses coefficient ne sont pas entiers
Le problème est que le degré de pourrait être très grand , la démonstration de Mathafou montre que c'est impossible pour tout ordre . En fait les conditions que j'ai données hier sont nécessaires et suffisantes pour l'existence de
on peut même le choisir de degré 2 . Il suffit de chercher
et
de degré 1 vérifiant les deux égalités . Je ne vais pas écrire les formules dans le cas général mais par exemple si on remplace la deuxième relation du message initial par
pour avoir les bonnes congruences , on obtient
et
qui se traduit par
.
Imod
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