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Polynôme entier passant par deux points

Posté par
Imod 03-01-25 à 10:58

Bonjour à tous

Les problèmes de polynômes sont souvent faciles quand on les attaque par le bon bout .

Les polynômes P(X)=X+8  et  P(X)=X-2  vérifient l'une ou l'autre des égalités suivantes :

P(\sqrt{2})=\sqrt{2}+8  et  P(\sqrt{8})=\sqrt{8}-2 .

Mais existe-t-il un polynôme à coefficients entiers vérifiant les deux égalités ?

Imod

Posté par
carpediemre : Polynôme entier passant par deux points 03-01-25 à 12:19

salut

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donc (??) il n'y a pas de solution ...

Posté par
Imodre : Polynôme entier passant par deux points 03-01-25 à 12:24

Salut Carpediem

Le "donc" est ultra light mais bien vu , après il faut trouver le bon angle d'attaque

Imod

Posté par
mathafou Moderateurre : Polynôme entier passant par deux points 03-01-25 à 12:54

Bonjour,

degré au moins 5 ... peut être

Posté par
carpediemre : Polynôme entier passant par deux points 03-01-25 à 14:08

si on considère mon polynome P (avec les coefficients rationnels)

alors tout polynome T(x) = P(x)Q(x) avec Q(\sqrt 2) = Q(\sqrt 8) = 1 (avec Q non constant bien sûr) sera solution mais peut-on trouver Q tel que PQ soit à coefficients entiers

j'en doute fortement ...

Posté par
mathafou Moderateurre : Polynôme entier passant par deux points 03-01-25 à 14:42

considérons les termes de rang pair de P(x) = \sum_{k=0} a_{2k+1}x^{2k+1} +\sum_{k=0} b_{2k}x^{2k}

 Cliquez pour afficher

Posté par
Imodre : Polynôme entier passant par deux points 03-01-25 à 16:46

Oui Mathafou , l'idée est de séparer les termes d'exposants pairs et impairs . On peut exprimer les choses un peu plus simplement en écrivant P(X) sous la forme P(X)=X.Q(X^2)+R(X^2) et noter qu'il y a un problème avec R . On peut multiplier les exemples à l'infini avec  P(a\sqrt{b})=c\sqrt{b}+d et P(e\sqrt{b})=f\sqrt{b}+g  et une mauvaise congruence pour P ou Q .

Imod

Posté par
Imodre : Polynôme entier passant par deux points 03-01-25 à 16:48

Je voulais dire une mauvaise congruence pour Q ou R .

Imod

Posté par
carpediemre : Polynôme entier passant par deux points 03-01-25 à 17:02

effectivement ... et

et pour résumer cela : \sqrt b est algébrique sur \Q lorsque b n'est pas un rationnel carré

et pour obtenir une solution dans \Z le coefficient dominant doit être 1 (ce qui n'est pas le cas de "mon" polynome du second degré ...

Citation :
On peut multiplier les exemples à l'infini
certes oui ... mais n'y a-t-il pas des cas où ça marche (autre que les fonctions affines

Posté par
Imodre : Polynôme entier passant par deux points 03-01-25 à 18:01

Pour moi les différents éléments : a , b , c , ... étaient des entiers et b n'était pas un carré parfait . On peut donner certaines conditions nécessaires pour l'existence de P :

c/a=c' et f/e=f' doivent être entiers et g-d et c'-f' doivent être divisibles par (a²-e²)b . Est-ce suffisant ?

Imod

Posté par
flightre : Polynôme entier passant par deux points 03-01-25 à 20:00

salut

un polynôme d'interpolation de Lagrange construit à partir des coordonnées fournies  indique que ses coefficient ne sont pas entiers

Posté par
Imodre : Polynôme entier passant par deux points 04-01-25 à 11:56

Le problème est que le degré de P pourrait être très grand , la démonstration de Mathafou montre que c'est impossible pour tout ordre . En fait les conditions que j'ai données hier sont nécessaires et suffisantes pour l'existence de P  on peut même le choisir de degré 2 . Il suffit de chercher Q et R de degré 1 vérifiant les deux égalités . Je ne vais pas écrire les formules dans le cas général mais par exemple si on remplace la deuxième relation du message initial par P(\sqrt{8})=\sqrt{8}+2 pour avoir les bonnes congruences , on obtient Q(X)=1  et  R(X)=-X+10  qui se traduit par P(X)=-X^2+X+10 .

Imod


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