Ou plutôt dim {0}

Ok j'ai retrouvé un exo où il me semble que l'on a dit que dim {0}=0

Je suppose que je dois prendre ça comme une convention. Je veux dire que si dim F= card des bases de F, comme je ne sais pas trouver une base de {0}...

??

Salut,

Question 1: ouais, allez, on fait dans le fastidieux.

Question 2:

Si Kerf est réduit au vecteur nul, alors sa dimension est 0, et y a pas de base...

A toi pour Im f.

biondo

0 est une base de {0}.
Es tu sur que f est bien injective?
Si elle est injective elle est nécessairement surjective (puisque c'est un endomorphisme) et inversement.
Dans ce cas là une base de l'image est une base de l'ensemble de départ.

Ok. Question 2 c'est déjà fait.

Merci de ces précisions.

ouais, allez, on fait dans le fastidieux
Tu veux dire qu'il y a moyen de faire dans le "pas fastidieux" ou pas?

Effectivement.
Surtout pour la recherche de l'injectivite. Mais peut etre n'as tu ps encore vu ca.
Tu peux regarder sur quoi les vecteurs de la base canonique sont envoyes:
(1,0,0)->(3,2,4)
(0,1,0)->(1,2,2)
(0,0,1)->(-1,-1,-1)

Et tu regardes si ceci a un determinant nul ou pas.
S'il est nul, ton endomorphisme est non injectif (et donc non surjectif).
Mais ici ca ne va pas necessairement etre plus rapide que de resoudre le systeme que tu as resolu.

A+

Je ne connais pas les déterminants...

Je continue l'exo.

Montrer que F= {P appartient à IR2[X] ;f(P)=P } est un ss-ev de IR2[X] dont on déterminera une base.

Soient (P,Q) appartiennent à IR2[X] et (u1,u2) deux scalaires dans IR.
deg(u1.P+ u2.Q)= max(degP,degQ)<= 2
donc u1.P+ u2.Q appartient à IR2[X]
donc F est un ss-ev de IR2[X].
Je suppose qu'on me demande une base de F (et pas de IR2[X])...

F= {P appartient à IR2[X] ;f(P)=P }
P(X)= a+ bX +cX^2 appartient à F  avec a,b,c dans IR

3a+b-c = a
2a+2b-c= b
4a+2b-c= c

2a +b -c =0

Je n'arrive pas à écrire la base.
Est-ce que je peux écrire. Ce que je crois voir est que la seule condition pour que mon polynôme de degré inf ou égal à 2 soit dans F est que
a= (-b+C)/2
J'aimerais écrire un truc du genre:
F= Vect (..... , X, X^2)  

??

Je reviens (mieux vaut tard que jamais)

Attention, tu as montre que R^2 etait un sev de R^2...
Il faut prendre P et Q dans F, et verifier que aP+bQ est encore dans F...


Pour la base, il suffit de donner des valeurs aux ceoficients, verifiant la relation.


Je te laisse chercher encor eun epu.


A+
biondo

Attention, tu as montre que R^2 etait un sev de R^2...
Il faut prendre P et Q dans F, et verifier que aP+bQ est encore dans F...
Et mince! C'est pas plus mal que je fasse l'erreur maintenant.
D'après les données, je suppose que je suis obligé de passer par une discussion sur les coefs... J'écris un truc du genre f( u1(a+bX + cX^2) + u2(A+BX+ CX^2) )=
......... = u1 f(a+ bX +cX^2) + u2 f(A+ BX+ CX^2)
C'est un peu long...

Pour la base, j'ai pris
b=1, c=3, a= (-b+c)/2 = 1
Donc F= Vect (1, X, 3.X^2)

Je ne suis pas sûr de bien comprendre la question suivante.
Soit G le ss-ev de IR2[X] engendré par 1+X+X^2. Montrer que IR2[X] est somme directe de F et G.

Je suppose que je dois comprendre que G= vect(1+X+X^2)  et que je dois prouver   IR2[X]= F + G   (somme directe).

Et j'ai un problème...
dimIR2[X]=3   mais dim(F+G)(somme directe)= dim F + dimG= 3+1=4  
:?
Je suppose que je n'ai pas bien compris l'énoncé.

??

Oups. Ca pedale un peu.

On revient tranquillement a F. Il faut montrer que c'est un sev. Qu'est ce qui caracterise F? Un polynome P de F verifie f(P) = P.

Donc en prenant P, Q, a et b, pour verifier que aP+bQ est encore dans F, je calcule f(aP+bQ).
Comme f est lineaire, f(aP+bQ) = af(P) + bf(Q) et comme P et Q sont dans F, on trouve bien aP+bQ.


Une autre maniere de faire, un peu moins "calculatoire", c'est de dire que l'application g definie par g = f-Id, est un endomorphisme de R^2[X]. Or F est egale au noyau de g. Comme le noyau d'un endomorphisme est un sev, F est un sev.


Apres, on a un probleme pour trouver une base de F.
Tu as trouve une relation sur les coefficients des polynomes P de F:
2a +b -c =0

Donc en prenant c=0, et a = -1, je trouve b=2 j'ai un premier polynome de F, a savoir P1 = 2X-1

La question, c'est de savoir quelle est la dimension de F... C'est au moins 1 (on vient de trouver un polynome non nul dans F), ca peut donc etre 1,2 ou 3 (a priori).
En prenant a=1 et b=0, on a c=2 et P2 = 2X^2 +1.
P1 et P2 sont libres (ils ne sont pas de meme degre)

Le dimension de F ne peut pas etre 3. Car alors ce serait l'espace tout entier, et f serait egal a l'identite. Il parait evident que non (calcule f(1), pour voir).

On pouvait se douter que F etait de dimension 2 en voyant que F est definie par une seule contrainte (2a +b -c =0). Physiquement, on a deux degres de liberte pour choisir les coefficients des polynomes.


Bref, F = Vect(2X-1, 2X^2+1), et est de dimension 2.


Allez, a toi maintenant.

biondo

On revient tranquillement a F. Il faut montrer que c'est un sev.

Hum effectivement je suis un peu fatigué. Je cherchais à montrer que F est une application linéaire Cherchez l'erreur.

Je te le rédige pour être bien sûr de ne plus dire de bêtises.

Soient (P,Q) deux éléments de F, soient a et b deux scalaires dans IR.

f(aP+ bQ)= af(P)+ bf(Q)=  aP +bQ

donc F est un ss-ev de IR2[X]

Je continue...

Ca c'est bon, mais comme ca a été dit, f est une application linéaire et l'identité aussi. Donc f-id est encore une application linéaire. Son noyau est donc un espace vectoriel, et ce noyau est justement F.

Comme ca tu as 2 façons de voir les choses.
A+

Je reprends à mon compte ce que tu m'as expliqué...

F={ P= a +bX +cX^2 | 2a+ b -c =0 }

Soient P= 2X-1   et Q= 2X^2 +1  deux éléments de F.
P et Q sont linéairement indépendants car ils n'ont pas le même degré (est-ce que je peux dire aussi qu'ils ne sont pas colinéaires? Je suppose que oui, parce que ce sont aussi des vecteurs).

donc    2<= dimF <= 3

Supposons que dim F=3
Comme F est inclus dans IR2[X], on aurait F= IR2[X]. f serait donc l'identité.
Or f(1)= 3 + 2X + 4X^2

donc dimF=2
donc (P,Q) est une base de F

Lorsque l'on a deux vecteurs, être colinéaire ou linéairement dépendant, ca signifie la même chose.
La dépandance linéaire en dimension supérieure est la généralisation de la colinéarité.
A+

Je continue.

Soit G= Vect(1+X+X^2)
Montrons IR2[X]= F+G (somme directe)
i.e   !(P,Q)F*G | P+Q= RIR2[X]

Soient R = a+bX +cX^2    avec a,b,c dans IR
       A,B,C trois scalaires dans IR
On a:
P+Q= A(2X-1) +B(2X^2 +1) +C(1+X+X^2)= (2B+C)X^2+ (2A+C)X + (B+C-A)

donc
   P+Q= R

2B+C=c
2A+C=b
B+C-A=a

.... et je trouve
A= -a/2 + b/4 + c/4
B= -a/2 -b/4 + 3c/4
C= -c/2 +b/2 +a

Donc le triplet (A,B,C) est déterminé uniquement par a,b, et c

Montrons l'existence de ce triplet.
Prenons R(X)= 1+X+X^2
On a alors:
A=0
B=0
C=1

donc !(P,Q)F*G | P+Q= RIR2[X]
et IR2[X]= F+G (en somme directe)

Est-ce que c'est correct? N'hésitez pas à me dire les choses qui vous gênent dans ma rédaction...

J'ai essayé de le rédiger autrement.

Soit (a,b,c)IR^3
Soit PFG
P= a(2X-1) + b(2X^2+1)
et P= c(1+X+X^2)

2b=c
2a=C
b-a=c

a=b=c=0

Donc FG={(0)}

On a dim(F+G)= dimF + dimG + dim (FG)=3 = dim IR2[X]

Soient (Q,R)F*G  soient a,b,c trois scalaires dans IR
P+Q= a(2X-1) + b(2X^2+1)+c(1+X+X^2) =.... IR2[X]

Donc F+G= IR2[X]
Finalement on a bien F+G= IR2[X] (en somme directe).

??

??

??

??

??

Salut,

c'est un petit peu long tout ça...
Je n'ai pas tout regardé dans le détail.

Mais si je ne m'abuse ton application est un endomorphisme linéaire et injectif donc d'après le théorème du rang .

Bein c'est ce que j'ai utilisé après. Mais je ne vois pas comment faire plus vite. Peut-être que la deuxième méthode que j'ai utilisée est plus rapide...

Comme je te l'ai dit je n'ai pas tout regardé. en fait tout à l'heure je parlais de la question 2) de l'exo du début.

Oh héhé c'est dans un autre exo que je me suis servi de la propriété que tu m'indiques.
Peux-tu détailler la manière dont j'aurais dû utiliser cela?

D'après le théorème du rang,



est injective, donc

d'où  .


Or .

Donc .

En fait j'ai utilisé le fait que si V est un s-e-v de W et dim V = dim W, alors V=W.

Bein oui, mais ça me sert à quoi pour la dernière question que j'ai traitée?

Soit G le ss-ev de IR2[X] engendré par 1+X+X^2. Montrer que IR2[X] est somme directe de F et G.

Ton espace est de dimension 3, et probablement que tu as montré que F était de dimension 2.
Probablement aussi que 1+x+x^2 n'est pas dans F...

Ton espace est de dimension 3, et probablement que tu as montré que F était de dimension 2.
Probablement aussi que 1+x+x^2 n'est pas dans F...
Oui j'ai montré que dimF=2.

Et effectivement 1+X+X^2 n'est pas dans F. Est-ce que ça me suffit pour dire que toute CL de 1+X+X^2 n'est pas dans F et que par conséquent, F inter G = {0} ?

Si a est non nul, alors si a(1+x+x^2) est dans F, toute combinaison linéaire de a(1+x+x^2) l'est, en particulier a(1+x+x^2)/a=1+x+x^2.
Mais ce dernier truc n'est pas dans F.

ET est-ce que la contraposée (je crois que c'est comme ça qu'on dit) est vraie?

1+X+X^2 n'est pas dans F donc toute combinaison linéaire de ce vecteur n'est pas dans F. Et donc F inter G ={0}

Je viens de le montrer justement.
A+

Ok merci à vous