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polynôme et divisibilité

Posté par yonyon (invité) 06-01-06 à 19:21

Bonjour, j'ai un problème avec cette question:
A quelle condition nécéssaire et suffisante, A=X^4+aX²+bX+c est-il divisible par B=X²+X+1?
Les racines de B étant exp (ipi/3) et exp (-ipi/3), il faut que ce soit aussi des racines de A.
donc j'ai exp(ipi/3)+a exp(-ipi/3)+ b exp(ipi/3)+c=0 mais je n'arrive pas à obtenir de condition plus simple.... Comment faire?
Merci d'avance pour votre aide

Posté par
Fractalre : polynôme et divisibilité 06-01-06 à 19:27

Bonjour,

Si A est divisible par B, on peut écrire A sous la forme B(wX²+yX+z).
Développe ce produit et identifie le coefficients tu trouveras directement la solution.

Fractal

Posté par
franzre : polynôme et divisibilité 06-01-06 à 22:51

Tu peux aussi effectuer la division euclidienn de A par B

Tu trouves 3$ X^4+aX^2+b X+c\; = \;(X^2-X+a).(X^2+X+1)\;+\; (-a+b+1)X+(-a+c)

ta CNS est donc 4$\{\array{ccl$b&=&a-1\\c&=&a}

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : polynôme et divisibilité 06-01-06 à 23:04

Bonsoir;
Les racines du polynome \fbox{B=X^2+X+1} sont plutot \fbox{j\hspace{5}et\hspace{5}\bar{j}=j^2\\j=e^{\frac{2i\pi}{3}}=-\frac{1}{2}+i\frac{sqrt3}{2}} ainsi pour que le polynome \fbox{A=X^4+aX^2+bX+c} soit divisible par B il faut et il suffit que \fbox{A(j)=A(\bar{j})=0} c'est à dire \blue\fbox{j+a\bar{j}+bj+c=0\\\bar{j}+aj+b\bar{j}+c=0} et en faisant successivement la somme et la différence de ces deux conditions on trouve \red\fbox{c=a=1+b}
Remarque:
Avec la condition en rouge on a \fbox{A=X^4+(1+b)X^2+bX+(1+b)=X^4+X^2+1+bB=(X^2-X+1)B+bB=(X^2-X+1+b)B}
Sauf erreurs bien entendu


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