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On a x1²+x2²=(x1+x2)²-2x1x2.
En utilisant les relations classiques coefficients-racines, on trouve alors :
(4-m)²-2(m²-3m+3)=6
16-8m+m²-2m²+6m-6-6=0
m²+2m-4=0
Le discriminant de cette équation du second degré vaut 4+4*4=20, donc les valeurs possibles de m sont -1+rac(5) et -1-rac(5).

De plus, le discriminant de l'équation de départ vaut m²-8m+16-4m²+12m-12 = -3m²+4m+4 qui doit être positif.
Si m était égal à -1-rac(5), le discriminant serait clairement négatif, ce qui est exclu.
On en déduit (après vérification que le discriminant est alors bien positif) qu'il n'y a qu'une seule solution : m = -1+rac(5)

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x_1+x_2=4-m, donc (x_1+x_2)^2=16-8m+m^2 , x_1x_2=m^2-3m+3,
donc 6=x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=16-8m+m^2-2m^2+6m-6
reste à résoudre -m^2-2m+4=0 alias -(m+1)^2+5=0 : m=-1 \pm \sqrt{5}
Tu demandes des racines réelles, on doit donc de plus avoir 0 \leq (m-4)^2-4(m^2-3m+3) = -3m^2+4m+4 = 10m-8 avec ces valeurs de m . La solution négative est donc à écarter.
conclusion : m = -1+\sqrt{5}