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polynôme et racines 2 n-ième de l'unité

Posté par
zarkop 25-12-19 à 00:09

Bonsoir,
je rencontre un petit problème dans un exercice de polynôme.

P(X) = (X^{2} - 1)  \prod_{k=1}^{n-1} (X^{2} -2X cos(\frac{k \pi}{n}) +1) .

Après quelques calculs, je trouve que :

P(X) = \prod_{k=-n}^{n-1} (X- exp(\frac{ik \pi}{n})) (***)

Mais le problème, c'est que je n'arrive pas à montrer que :

P(X) = \prod_{k=0}^{2n-1} (X- exp(\frac{ik \pi}{n})) .
Pour pouvoir conclure que :   P(X) = X^{2n} -1

J'ai beau faire le changement d'indice l = k+n dans (***) mais j'aboutis à :

P(X) = \prod_{l=0}^{2n-1} (X+exp(\frac{il \pi}{n})) .

Quelqu'un pourrait m'éclairer svp ?


Autre formulation de la question : je ne comprends pas pourquoi les exp(\frac{ik \pi}{n}) avec k \in \left\{ -n, -(n+1), \ldots , n-1 \right\} sont les 2n racines distinctes de X^{2n}-1 alors que pour moi : ce sont les  les exp(\frac{ik \pi}{n}) avec k \in \left\{ 0, 1, \ldots , 2n-1 \right\} qui sont les 2n racines distinctes de X^{2n}-1.

Posté par
lionel52re : polynôme et racines 2 n-ième de l'unité 25-12-19 à 00:33

Hello! Les 2 ensembles sont bons

Les exp(i(kpi)/n) avec les k qui sont 2n entiers consécutifs sont les racines 2n-eme distinctes  de l'unité

Posté par
zarkopre : polynôme et racines 2 n-ième de l'unité 25-12-19 à 00:44

Merci pour ta réponse lionel !

Mais comment parvient-on à le démontrer ?

Pourrais-tu m'aider dans la preuve ?

Posté par
Jezebethre : polynôme et racines 2 n-ième de l'unité 25-12-19 à 03:45

Bonjour

x \mapsto exp(ix \pi /n) est 2n-périodique.

Posté par
zarkopre : polynôme et racines 2 n-ième de l'unité 26-12-19 à 01:26

Merci pour ta réponse jezebeth !

et donc tu pourrais détailler un peu stp ?

Posté par
Ramanujanre : polynôme et racines 2 n-ième de l'unité 26-12-19 à 01:39

Bah simplement : \exp(\dfrac{i (x+2n) \pi}{n})=\exp(\dfrac{i x \pi}{n}) \exp(2i \pi) = \exp(\dfrac{i x \pi}{n})

Donc tu peux en quelque sorte "translater" tes solutions de 2n

Posté par
Jezebethre : polynôme et racines 2 n-ième de l'unité 26-12-19 à 13:26

Tout ensemble de 2n entiers consécutifs est de la forme E := {p,p+1,...,p+2n-1} avec p un certain entier relatif.
Soit \mathbb{U}_{2n} l'ensemble des racines 2n-e de l'unité.
L'application f qui à k dans E associe la quantité f(k)=exp(ip\pi /n) dans \mathbb{U}_{2n}, est surjective d'après la remarque sur la périodicité justement (pas difficile à montrer). Donc bijective.

Posté par
Jezebethre : polynôme et racines 2 n-ième de l'unité 26-12-19 à 18:36

Détails pour la surjectivité :
Soit z \in \mathbb{U}_{2n} ; il existe k\in [\![0;2n-1]\!] tel que z=exp(ik\pi /n). En notant q et r le quotient et, respectivement, le reste dans la division euclidienne par 2n de k-p, on obtient : z=f(p+r).


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