Un polynôme P est irreductible si P=AB implique que A ou B est constant.
Notamment s'il ne peut pas s'écrire comme produit de 2 polynômes non constants...

Pour répondre à la deuxième question, oui il faut bien à chaque dénominateur de la décomposition en éléments simples des polynomes irréductibles. Dans R le degré de ce polynôme est au maximum 2 et dans C au maxmum 1 (car tout polynôme de degré 2 a des racines dans C)

Il faut bien préciser  le corps sur lequel tu travailles, R ou C (ou meme d'autres ensembles que des corps).
Par exemple, un polynome de degré 2 à discriminant négatif sera irréductible sur R, alors qu'un polynome de degré quelconque sera réductible sur C (théorème fondamental de l'Algèbre, énoncé par D'Alembert et démontré par Gauss).
Sur R, tu pourras toujours réduire un polynome quelconque à un produit de polynomes du 1er degré, réduit par définition, et de polynomes du second degré irréductibles sur R.

Non , au dénominateur on a des PUISSANCES d'irréductibles (pas seulement des irréductibles).

Sur les complexes : seuls les polynômes de degré sont irréductibles

Sur les réels : seuls ceux de degré 1 ou de degré 2 sans racine

Ailleurs c'est plus compliqué, mais il est clair que sur un corps:

a) les polynômes de degré 1 sont toujours irréductibles
b) les polynômes de degré 2 ou 3 sont irréductibles si et seulement si ils n'ont pas de racine dans le corps.

Attention b) devient faux si degP>3
  sur  R par exemple est réductible sans racine, son degré est 4 .

lolo

Ce "Non" est un peu brutal. Je n'ai jamais dit qu'au dénominateur on n'avait que des irréductibles tous distincts. En disant qu'on a des irréductibles, distincts ou  non, il me paraissait évident que cela incluait les puissances d'irréductibles...