Niveau LicenceMaths 2e/3e a

Polynome irreductible.

Posté par
Vantin 26-11-22 à 18:44

Bonjour, j'aurais besoin de vos commentaires sur cet exo car je ne suis pas sur de moi:

Factorisez les polynômes suivants en facteurs irréductibles dans les domaines de factorisation uniques donnés.
N'oubliez pas d'expliquer soigneusement pour chaque facteur pourquoi il est irréductible.

1) $x^2y^3 + xy + 1$ in Q[x, y].
2) $y*x^5 + (29y^5 -18y)x + 2y^2 + 3y$ in Z[x, y].
Indice : $(3, y) \subset Z[y]$ est un anneau premier de Z[y], pourquoi?

1) Je pense qu'on le polynome en lui même est déjà irréductible.
$x^2y^3 + xy + 1= y^3x^2+yx+1$ .
Supposons qu'il est réductible donc c'est le produit de deux polynomes.

$y^3x^2+yx+1=f(x,y)g(x,y)$ .

Pour $y=1, x^2+x+1=f(x,1)g(x,1),$ ce qui est absurde car $x^2+x+1$ est irréductible.

2)
$y,29y^5-18y,2y^2,3y \in (3,y)$
$3y \notin (3,y)^2$ (ça je suis pas sur)
Donc par le critère d'Eisenstein, $x^2y^3 + xy + 1= y^3x^2+yx+1$ est irréductible

Posté par re : Polynome irreductible. 27-11-22 à 10:10

Bonjour,
Ton raisonnement pour 1) n'est pas complet : si tu l'appliquais au polynôme $x^2y^3+xy+y^2$ , tu conclurais qu'il est irréductible, ce qui est visiblement faux.
Pour 2) ton polynôme n'est visiblement pas irréductible ! Et $3y=3\times y$ apprtient bien au carré de l'idéal premier $(3,y)$ . Et à la fin tu te mets à parler du polynôme de la question 1 !
Reprends ça avec plus de soin.

Posté par re : Polynome irreductible. 27-11-22 à 14:27

Ok pour la 1, je vois que le raisonnement n'est pas complet grâce à ton contre-exemple, néanmoins je ne vois pas ce que je suis censé rajouter pour affirmer que le polynôme est irréductible.

pour la 2)
$y*x^5+(29y^5-18y)x+2y^2+3y=y(x^5+x(29y^4-18)+2y+3)$

Il me reste à montrer que $x^5+x(29y^4-18)+2y+3$ est irréductible.
$29y^4-18 \in (3,y)$
$2y+3 \in (3,y)$
Mais $2y+3 \notin (3,y)^2$
Donc par le critère d'Eisenstein $x^5+x(29y^4-18)+2y+3$ est irréductible.

Posté par re : Polynome irreductible. 27-11-22 à 17:30

Si A est un anneau factoriel de corps de fractions k, un polynôme non constant de A[x] est irréductible si et et seulement s'il est irréductible dans $k[X]$ et ???

Posté par re : Polynome irreductible. 29-11-22 à 18:31

Et il n'y a pas de facteur commun parmi les coefficients du polynôme !

Posté par re : Polynome irreductible. 29-11-22 à 22:43

Autrement dit, le contenu est 1 (ou un inversible).

Posté par re : Polynome irreductible. 30-11-22 à 21:40

ok je vois merci

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