Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau Maths sup
Partager :

Polynôme Lagrange

Posté par
FPasContinue
19-08-22 à 18:47

Bonjour à tous, j'ai un petit souci pour l'exercice qui est attaché et qui porte sur les polynôme de Lagrange. J'ai réussi à prouver que leur somme vaut 1,  mais pour les questions qui suivent j'ai un peu de mal. J'arrive à cette expression en partant de la définition de Li(X)  (X-x_i)L_i(X)=P(X)\prod_{i\neq k}  \frac {1}{(x_i-x_k)}
mais par la suite je n'arrive pas à introduire P'(xi). De même pour la suite, en sommant sur i l'expression à prouver je n'abouti à rien.
N'hésitez pas à me demander des précisions si je ne suis pas clair.
Merci de m'avoir lu et bonne journée !

Polynôme Lagrange

Posté par
Ulmiere
re : Polynôme Lagrange 19-08-22 à 19:09

Tu vas te faire taper sur les doigts par les modos pour ne pas avoir copié l'énoncé, alors je vais le faire pour toi, mais essaie de le faire toi-même la prochaine fois

Citation :
On se donne n scalaires x_1,\cdots, x_n et on pose

L_i(X) = \prod_{k\neq i} \dfrac{X-x_k}{x_i-x_k} pour tout i
et
P(X) = \prod_{i=1}^n (X-x_i)

1) montrer que \sum L_i = 1 (déjà fait)
2) montrer que L_i(X) = \dfrac{P(X)}{P'(x_i)(X-x_i)}
3) en déduire que \sum_{i=1}^n \dfrac{1}{P'(x_i)} = 0




As-tu calculé P'(X) ? Qu'est-ce que tu trouves comme valeur ou P'(x_i) ?

Ensuite, de quel degré est L_i ? Et le membre de droite ?
Si tu trouves deg(L_i)+1 points où les deux coincident, alors les polynômes seront égaux, puisqu'un polynôme de degré n est nul s'il a plus de n racines

Posté par
Ulmiere
re : Polynôme Lagrange 19-08-22 à 19:13

Petite coquille: deg(L_i) points suffisent parce que le coefficient dominant de L_i(X) - Q(X) est ???

Posté par
FPasContinue
re : Polynôme Lagrange 19-08-22 à 19:46

Bonjour Ulmiere excusez-moi pour ne pas avoir recopié le sujet je le ferais la prochaine fois.

Je ne vois pas trop comment calculé P' vu que c'est un produit de n termes.
Ensuite le degré de Li est au plus n-1 de même pour le membre de droite, donc leur différence sera de degré au plus n-1 aussi. Et elle est nulle pour tous les X=x_kk \neq i ce qui fait n-1 racines distinctes.
Pour le coef dominant, celui de Li est\frac{X^(n-1)}{\prod_{i\neq k}x_i-x_j} et celui de Q est \frac{X^(n-1)}{P'(x_i)}

Posté par
Ulmiere
re : Polynôme Lagrange 19-08-22 à 19:51

Les polynômes respectent les mêmes règles que les fonctions en ce qui concerne les dérivations de produits

a) Calcule (fg)' pour fg deux fonctions
b) Utilise le résultat pour calculer (fgh)' où h est une autre fonction
c) Si tu n'as toujours pas compris, utilise ça pour calculer (fghu)', où u est une autre fonction...

Normalement tu devrais voir apparaître un pattern

Posté par
FPasContinue
re : Polynôme Lagrange 19-08-22 à 20:30

Je crois comprendre, P'(X)=\sum_{j=1}^n\prod_{j \neq k} (X-x_k) (j'ai un doute sur cette expression, c'est plus simple à voir quand c'est développé).
Donc P'(x_i)=\prod_{k\neq i}(x_i-x_k) ce qui permet de conclure pour la 2ème question merci beaucoup !
Mais cela n'avance pas beaucoup pour la dernière question je n'aboutit toujours à rien en sommant l'égalité.

Posté par
Ulmiere
re : Polynôme Lagrange 19-08-22 à 21:20

Oui, le pattern dont je parlais, c'est que tu dérives un facteur et tu touches pas aux autres

(fg)' = f'g + fg'
(fgh)' = f'gh + fg'h + fgh'
(fghu)' = f'ghu + fg'hu + fgh'u +fghu'

Ton expression est correcte, mais il serait plus conventionnel d'écrire k\neq j à la place de j\neq k, puisque tu sommes sur k.
P'(x_i) = le terme général de la somme parce que tous les termes sont nuls, sauf un


Pour la deuxième, tu as compris que L_i et Q ont le même degré coefficient dominant, donc que ça fait chuter le degré de leur différence de un ?


Pour la troisième,
(X-x_i)L_i'(X) + L_i(X) = P'(X)/P'(x_i)

On somme: 1 + \sum_i (X-x_i)L_i'(X) = P'(X)\sum_i 1/P'(x_i)

Mais \sum_i (X-x_i)L_i'(X) = -\sum_i x_iL_i'(X) (pourquoi ?)
qui est aussi l'opposé de la dérivée de \sum x_i L_i = X (pourquoi ?)

Donc 0 = P'(X)\times \sum_i 1/P'(x_i) et comme P est non nul, on a bien l'égalité cherchée.

Explique moi les trois choses en couleur et ce sera bon

Posté par
FPasContinue
re : Polynôme Lagrange 19-08-22 à 23:02

Alors si je comprends bien on sait que pour le rouge:
\sum_i XL_i(X)=X en dérivant on obtient que le polynôme \sum_i XL'_i(X) est nul d'où l'égalité rouge.
De plus comme pour la première question le polynôme Q(X)=\sum x_iLi(X) -X s'annule pour tous les xi c'est à dire il a n>deg(Q) solutions ce qui justifie l'égalité verte.
Et enfin en ayant l'équation que l'on nomme (*) 1+\sum_i(X-x_i)L'_i(X)=P'(X)\sum_i 1/P'(x_i) en appliquant l'égalité rouge puis en dérivant la verte et en l'appliquant à (*) on obtient bien l'égalité bleu ce qui permet de conclure.
Merci beaucoup pour ton aide ça m'a permis de comprendre l'exo.
À bientôt sur le forum !

Posté par
Ulmiere
re : Polynôme Lagrange 20-08-22 à 00:24

Oui, c'est bien ça, bon travail

Il faut juste préciser tout à la fin que comme P est un polynôme non nul, il existe un scalaire a  tel que P(a) est non nul.
On aura donc 0 = P(a) * (la somme)

Ce qui permet de conclure, c'est l'intégrité de l'anneau/corps des scalaires sur lequel P est un polynôme !

Sans ça, on pourrait très bien avoir une somme non nulle mais telle que son produit avec P(a) soit nul

Posté par
FPasContinue
re : Polynôme Lagrange 20-08-22 à 11:22

En effet sans la propriété d'intégrité scalaire/vecteur de \mathbb{R}[X] et sans savoir que P'(X) non nul pas moyen de conclure.
En tout cas merci et à bientôt !

Posté par
Ulmiere
re : Polynôme Lagrange 20-08-22 à 12:05



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1674 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !