Bonjour à tous, j'ai un petit souci pour l'exercice qui est attaché et qui porte sur les polynôme de Lagrange. J'ai réussi à prouver que leur somme vaut 1, mais pour les questions qui suivent j'ai un peu de mal. J'arrive à cette expression en partant de la définition de Li(X)
mais par la suite je n'arrive pas à introduire P'(xi). De même pour la suite, en sommant sur i l'expression à prouver je n'abouti à rien.
N'hésitez pas à me demander des précisions si je ne suis pas clair.
Merci de m'avoir lu et bonne journée !
Tu vas te faire taper sur les doigts par les modos pour ne pas avoir copié l'énoncé, alors je vais le faire pour toi, mais essaie de le faire toi-même la prochaine fois
Bonjour Ulmiere excusez-moi pour ne pas avoir recopié le sujet je le ferais la prochaine fois.
Je ne vois pas trop comment calculé P' vu que c'est un produit de n termes.
Ensuite le degré de Li est au plus n-1 de même pour le membre de droite, donc leur différence sera de degré au plus n-1 aussi. Et elle est nulle pour tous les où ce qui fait n-1 racines distinctes.
Pour le coef dominant, celui de Li est et celui de Q est
Les polynômes respectent les mêmes règles que les fonctions en ce qui concerne les dérivations de produits
a) Calcule (fg)' pour fg deux fonctions
b) Utilise le résultat pour calculer (fgh)' où h est une autre fonction
c) Si tu n'as toujours pas compris, utilise ça pour calculer (fghu)', où u est une autre fonction...
Normalement tu devrais voir apparaître un pattern
Je crois comprendre, (j'ai un doute sur cette expression, c'est plus simple à voir quand c'est développé).
Donc ce qui permet de conclure pour la 2ème question merci beaucoup !
Mais cela n'avance pas beaucoup pour la dernière question je n'aboutit toujours à rien en sommant l'égalité.
Oui, le pattern dont je parlais, c'est que tu dérives un facteur et tu touches pas aux autres
(fg)' = f'g + fg'
(fgh)' = f'gh + fg'h + fgh'
(fghu)' = f'ghu + fg'hu + fgh'u +fghu'
Ton expression est correcte, mais il serait plus conventionnel d'écrire à la place de , puisque tu sommes sur k.
= le terme général de la somme parce que tous les termes sont nuls, sauf un
Pour la deuxième, tu as compris que L_i et Q ont le même degré coefficient dominant, donc que ça fait chuter le degré de leur différence de un ?
Pour la troisième,
On somme:
Mais (pourquoi ?)
qui est aussi l'opposé de la dérivée de (pourquoi ?)
Donc et comme P est non nul, on a bien l'égalité cherchée.
Explique moi les trois choses en couleur et ce sera bon
Alors si je comprends bien on sait que pour le rouge:
en dérivant on obtient que le polynôme est nul d'où l'égalité rouge.
De plus comme pour la première question le polynôme s'annule pour tous les xi c'est à dire il a n>deg(Q) solutions ce qui justifie l'égalité verte.
Et enfin en ayant l'équation que l'on nomme (*) en appliquant l'égalité rouge puis en dérivant la verte et en l'appliquant à (*) on obtient bien l'égalité bleu ce qui permet de conclure.
Merci beaucoup pour ton aide ça m'a permis de comprendre l'exo.
À bientôt sur le forum !
Oui, c'est bien ça, bon travail
Il faut juste préciser tout à la fin que comme P est un polynôme non nul, il existe un scalaire a tel que P(a) est non nul.
On aura donc 0 = P(a) * (la somme)
Ce qui permet de conclure, c'est l'intégrité de l'anneau/corps des scalaires sur lequel P est un polynôme !
Sans ça, on pourrait très bien avoir une somme non nulle mais telle que son produit avec P(a) soit nul
En effet sans la propriété d'intégrité scalaire/vecteur de et sans savoir que P'(X) non nul pas moyen de conclure.
En tout cas merci et à bientôt !
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