Bonsoir, quel est P' ?

Je n'ai aucune info sur P', je sais juste que P est le polynôme caractéristique de A... J'ai donné toutes les informations que j'ai dans l'énoncé de l'exercice  dans mon premier message. Je suppose que suppose donc que c'est la dérivée de P.

Merci de ta réponse

Bonjour,
Et A, c'est qui?

Oups désolé, ça par contre j'ai vraiment oublié ! , j'ai aussi la précision que . Encore désolé

Bonjour,

P' est bien le polynôme dérivé.
Suppose P scindé, et regarde alors ce qu'est P divisé par le pgcd de P et P'.  Un conseil : raisonne en termes des racines de P, c.-à-d. des valeurs propres.

D'accord, je vais essayer, merci beaucoup.

Le problème que j'ai, c'est que je n'arrive pas vraiment à me rendre compte de comment vont évoluer les valeurs propres entre P et P'...

En fait, je suis parti du fait que µa divise forcément P (Théorème de Cayley-Hamilton si j'ai bien retenu).
Du coup, si P et P' n'ont aucune racine en commun, pgcd(P, P') = 1, donc µa divise bien R (car R = P)
Et si P et P' ont des racines en commun, P' aura au maximum deg(P') racines, c'est à dire que si c'est le cas, R = µa.

Je me doute que mon raisonnement est très brouillon... Mais est-ce que je suis sur la bonne voix ? (Si vous arrivez à comprendre quelque chose à ce que je dis, ce qui n'est pas gagné)

Désolé mes questions sont peut-être bêtes, mais confinement oblige, je fais mes cours tout seul avec internet et c'est parfois compliqué d'obtenir quelque chose de complet...

Non, je n'ai pas compris ta phrase "Et si P et P' ont des racines en commun ... "

Si quand on factorise P et P' en polynôme de degré 1, il y a un polynôme en commun, par exemple :
P(x) = x^2 + 4x + 4 = (x+2)(x+2) et P'(x) = 2x+4 = 2(x+2)
Ils ont un polynôme de degré 1 en commun. Je ne sais pas si je m'exprime correctement ?

S'ils ont des polynômes de degré 1 en commun, ils auront au maximum deg(P') en commun. Donc le pgcd sera ces mêmes polynômes, et donc il ne restera pour R qu'un seul polynôme de P, qui sera µa.

Bonjour
tu dois avoir vu un jour quelque chose à propos de racines communes à P et P' et de racines multiples de P, non ?

Entre les racines communes de P et P' non pas à ma connaissance... Je vais essayer de chercher de ce côté un cours sur internet, merci !

Bonsoir,

Si on suit ton raisonnement, Si , peux tu calculer ?

Heu normalement oui...
Une racine commune à P et P' est une racine (au moins) double de P ?
serait donc P, mais avec tout ses polynômes à la puissance 1 ?

"Avec tout ses polynômes ..." demanderait à être écrit plus exactement.
Creuse cette piste.
Puisqu'on est sur , P est bien scindé, tous ses facteurs irréductibles sont de degré 1.

Alors... J'ai cherché un peu et en reprenant tous les exercices j'ai vu que dans un, on me proposait de démontrer que est racine de P est équivalent à est racine simple de R. J'ai donc essayé de produire quelque chose en partant de là, sauf que ça doit pas être bon car ça me parait bien trop simpliste.

On sait que pour , dire que est racine de P est équivalent à est racine simple de R.  
Cependant, P est un polynôme scindé (car dans C) et qui s'annule aux valeurs propres de A. On a alors que R est un polynôme scindé simple qui s'annule aux valeurs propres de A. De plus, on sait que µa s'annule aussi aux valeurs propres de A.

Sauf que à partir de là, ça me parait évident que R divise µa, mais je ne sais pas comment le prouver...
Je sais que je devrais utiliser plus de quantificateur, mais j'essaye déjà de comprendre comment faire en langage courant.

Le problème est d'écrire précisément les choses, même en langage courant :
"R est un polynôme scindé simple qui s'annule aux valeurs propres de A"
est vrai, mais c'est trop imprécis. Si tu veux raisonner correctement, tu dois utiliser que l'ensemble des racines de R (qui sont toutes simples, comme tu l'as vu) est exactement l'ensemble des valeurs propres.

Merci beaucoup de votre aide et de votre rapidité.
Là j'arrive vraiment en manque d'imagination, je ne vois pas comment mieux justifier en réalité. Puisque R est scindé à racines simples, et que celles-ci sont les mêmes que µa qui est scindé aussi, R peut bien diviser µa non ? J'ai loupé quelque chose je suppose, mais quoi ?

Tu as loupé de formaliser ton raisonnement. Essaie.
Si sont les valeurs propres (distinctes) de , alors . Je te laisse continuer.

Si sont les valeurs propres (distinctes) de A, alors . De plus, on sait que sont aussi exactement les racines de µa. C'est à dire que , µa peut s'écrire : .
Donc R divise donc bien µa ?

Pour aller un peu plus loin, tu peux démontrer que A est diagonalisable si et seulement si R est polynôme annulateur de A.

C'est un peu la question suivante qui me demande de démonter l'équivalence entre les trois assertions :
- A diagonalisable
- µa = R
- R(A) = 0

Merci beaucoup pour votre aide ! Je vais essayer de me débrouiller un peu tout seul maintenant quand même !

Tout à fait !
Bon courage.

Merci beaucoup ! Puis-je abuser encore une fois de votre patience ?
Je me sentais pousser des ailes à enchaîner les questions... Mais là je suis encore une fois bloqué...

Je dois dire si des matrices sont diagonalisables sur C ou non.
J'ai donc commencé à calculer les polynômes caractéristiques, pour la première qui est une matrice 4x4 : je ne trouve que 2 valeurs propres, mais la dimension de la matrice est supérieur à 2, j'ai donc dit qu'on ne pouvait pas la diagonaliser.

Mais pour la matrice suivante... C'est une matrice 5x5, et je trouve en polynôme caractéristique : -X^5 + 10X + 5 . Et là j'avoue que je ne vois pas vraiment comment je peux factoriser ce polynôme. Est-ce qu'il existerait une autre méthode pour savoir si les matrices sont diagonalisables ?

Ben ... à quoi ça sert d'avoir fait les premières questions ???
Tu peux calculer le pgcd du polynôme caractéristique et de sa dérivée, puis vérifier si c'est oui ou non un polynôme annulateur de la matrice.
Et attention ! Ce n'est pas parce qu'une matrice de taille 4 n'a que deux valeurs propres qu'elle n'est pas diagonalisable ! La matrice identité a une seule valeur propre, et elle est diagonale.

Salut takuma, on a le même exo à faire, y'a moyen on rassemble nos forces pour terminer le DM, parce que j'ai aussi des difficultés ?

Bonsoir,
Si ça se trouve,  vous êtes peut-être dans la même classe.