Je comprends pas la moitié de ce qui est écrit. Du coup, non, je ne vois rien

Bonsoir,
une piste.

Premier point  f n'a pas de valeur propre dans K.
En effet si a est valeur propre de f il est facile de montrer que P(a)=0 et P n'est pas irréductible.

Second point si il existe un polynôme S de degré inférieur à celui de P tel que S(f)=0 alors il en existe un de degré strictement inférieur à celui de S.
Pour montrer ça on fait la division euclidienne de P par S.
P=Q.S+R
On a évidement R0 car P est irréductible.
Et P(f)=Q(f).S(f)+R(f) d'où R(f)=0.

D'après le premier point on ne peut pas avoir un degré égal à 1.

Avec ça on devrait pouvoir conclure avec un effort de rédaction que je n'ai pas fait.

Bonjour verdurin !
Pour moi (en le normalisant) est le polynôme minimal de . Je ne vois donc pas l'intérêt de montrer qu'il ne peut exister de polynôme annulateur de degré strictement inférieur.
Bref je ne vois pas sur quel chemin tu penses continuer.

..........................
Pour préciser ma question.
est le polynôme minimal de donc le polynôme caractéristique est divisible par .
On peut donc envisager la factorisation premiers entre eux et je veux montrer que est de degré 0.
C'est facile si on passe par une extension de corps où admet une racine mais je veux éviter cette façon de faire.

Sauf erreur je pense avoir une solution.

Soit de degré , normalisé, irréductible sur et annulateur de .

1. Si est un sous espace (strict) stable par sa dimension est au moins .
En effet la restriction de au sous-espace admet le polynôme annulateur qui est aussi son polynôme minimal et la dimension de est supérieure à .

2. Soit un vecteur non nul. La famille des itérées est liée et engendre un espace stable. Cet espace est de dimension d'après 1.

3. Soit l'ensemble des entiers tels qu'il existe vecteurs et un sous-espace stable de dimension de base .
D'après 2., en choisissant on a : est une partie non vide de , majorée puisque .

Soit , de dimension .

4. On montre que .
Supposons et  soit .
D'après 2. la famille est base d'un espace stable .
Si on a un espace stable strict de dimension strictement inférieure à car et d'après 1. c'est impossible.
Par conséquent forment une somme directe et, en posant , on met en évidence que ce qui contredit la définition de .

Lire
Soit , de dimension .

Bonsoir luzak.
Ma réponse était en effet un peu délirante.

J'ai quand même un problème avec le premier point de ta démonstration.
Non que je pense qu'il soit faux, mais je me demande comment le démontrer sans utiliser le corps de rupture de P.

La restriction de est un endomorphisme de et son polynôme caractéristique est de degré la dimension de .

Si on a aussi donc est polynôme annulateur de . Etant irréductible il est polynôme minimal de donc diviseur de et la dimension de est supérieure au degré de .

Je suis bien d'accord, mais comment le démontres tu ?

Quelle est ta question exactement ?
Que la restriction à un sous-espace stable est un endomorphisme du sous-espace ?
Que le polynôme caractéristique est de degré la dimension ?
Que ce polynôme est annulateur ?
Que est annulateur de la restriction ?
Qu'un polynôme annulateur ET irréductible est polynôme minimal ?
Que le polynôme minimal est diviseur du polynôme caractéristique ?

Ma question

Le bon point de vue :
Le polynôme caractéristique de la matrice est le déterminant (se calcule dans le corps et est un polynôme de degré ), ne change pas si on remplace par une matrice semblable d'où par définition le polynôme caractéristique d'un endomorphisme.
Et c'est bien un polynôme de degré : aucune utilisation de racines !