Bonsoir,

Le polynôme minimal divise tout polynôme annulateur.

Bonsoir,
Oui c est vrai, mais comment fait on pour le "construire"? On calcule le pgcd entre 2 polynômes annulateurs ?  Mais du coup dans tous les cas, cela revient à partir du polynôme caractéristique

A compléter par les autres intervenants mais je connais une méthode :

Une méthode est de trouver plusieurs polynômes annulateurs de l'endomorphisme et d'en déduire le polynôme minimal en utilisant le fait que le polynôme minimal divise tous les polynômes annulateurs.

Bonsoir
le polynôme caractéristique est annulateur donc multiple du minimal
par ailleurs les valeurs propres sont racines du minimal :
à partir du caractéristique factorisé, on doit garder un exemplaire de chaque facteur, on peut juste jouer sur les exposants, en testant 1 d'abord puis en augmentant progressivement jusqu'à l'exposant qui figure dans le caractéristique

exemple si le caractéristique est (x-1)(x-2)^3, les seules possibilités pour le minimal seront (x-1)(x-2), (x-1)(x-2)² et (x-1)(x-2)^3

Merci pour vos réponses. D accord donc il faut tester toutes les possibilités et voir si cela s annule bien ?

c'est ça
parfois on le "voit" directement sans calculer de polynôme caractéristique
par exemple si A est la matrice "Attila" (que des 1 partout) de dimension n, il est à peu près clair qu'on aura A² = nA, et donc que le polynôme X²-nX est annulateur
comme on n'a ni A = 0, ni A = nI, ni X ni (X-n) ne sont annulateurs, et X²-nX est le polynôme minimal

La matrice Attila , j ai bien saisis. Mais parfois cela peut s'avérer fastidieux, s il faut tester toutes les combinaisons  de puissances