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Polynôme récalcitrant

Posté par
Hayumi
01-10-18 à 12:28

Bonjour,
c'est un peu honteuse que je viens demander un peu d'aide, car les cours que j'ai suivie au lycée se sont sauvés de ma mémoire.

Voici ma question ;
J'ai un polynôme de type    y= (a*x)/(b+x) + (c*x)/(d+x)  que j'ai obtenu par régression non  linéaire.
Dans mon modèle  y, a, b, c, et d sont connus, ce sont des paramètres différents pour mes 4 traitements (exemple 1; y =10, a= 11,8 , b = 7, c= 79,4 et d=1768).

Je cherche à traduire cette équation pour avoir x = .... afin de pouvoir facilement appliquer ce calcul dans excel à mes 4 traitements en assignant a,b,c,d et y a leur valeurs respectives.
Je ne souhaite pas résoudre l'équation ! Juste la transformer  pour qu'elle soit sous forme "x =" et non plus "y ="

J'ai perdu pas mal de notions que j'avais appris au lycée et pas forcement le temps pour tout revoir (bien que je le déplore), si quelqu'un à la gentillesse pour m'aider à transformer mon équation en x =          ou peut m'indiquer vers quelle fiche de cours me tourner, je lui en serais vraiment reconnaissante.

En espérant ne faire perdre son temps à personne
Merci par avance

Posté par
sanantonio312
re : Polynôme récalcitrant 01-10-18 à 12:44

Bonjour,
y=\dfrac{ax}{b+x}+\dfrac{cx}{d+x}
C'est bien ça?
Dans l'affirmative, il faut mettre les deux fraction au même dénominateur (b+x)(d+x)
Puis multiplier des deux côtés par ce dénominateur.
Ça va finir par une équation du second degré en x qui aura donc 0, 1 ou 2 solutions.

Posté par
alb12
re : Polynôme récalcitrant 01-10-18 à 13:00

salut,
est-ce vraiment utile de faire ce genre de calculs à la main ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Polynôme récalcitrant 01-10-18 à 13:02

Bonjour,
tout d'abord ce n'est pas un polynome du tout (parce qu'il y a des divisions par des termes contenant x)
c'est une "fonction rationnelle" c'est à dire qui peut se mettre sous la forme du quotient de deux polynomes.

écrire x = en fonction de y,a,b,c,d c'est résoudre cette équation en l'inconnue x

x différent de -b et de -d (sinon les dénominateurs ne veulent rien dire)
dans ces conditions on peut multiplier tout par (b+x)(d+x)
ce qui donne
y(b+x)(d+x) = (ax)(d+x) +( cx)(b+x)

en développant, on obtient une équation du second degré en l'inconnue x
le chapitre à revoir est (outre les généralités sur les développements etc) la résolution des équations du second degré.

qui a donc en général deux racines.
il faut choisir celle qui correspond à la réalité derrière cette formule (que représente-t-elle et à quoi elle sert, quelle est la signification des diverses grandeurs x,y,a,b,c,d)

on peut l'écrire sous la forme
y(b+x)(d+x) = (ax)(d+x) +( cx)(b+x)
(y-a-c)x² + (by+dy-ad-bc)x + ybd = 0
Ax² + Bx + C = 0 ou A, B, C sont des expressions, en fonction de y,a,b,c,d
A = y-a-c
B = by+dy-ad-bc
C = ybd
les solutions sont x = \dfrac{-B \pm; \sqrt{B^2-4AC}}{2A}
"plus ou moins" donne les deux solutions

Posté par
Hayumi
re : Polynôme récalcitrant 01-10-18 à 14:27

rebonjour,

Oulala j'avais encore plus de lacune que prévu !

Merci beaucoup

Tout d'abord Sanantonio, oui c'est parfaitement ça (je ne savais pas qu'on pouvait présenter la formule aussi proprement).

Ensuite Alb12; je serais vraiment ravie s'il existait une méthode pour me permettre d'avoir le résultat d'une autre manière, mais encore une fois je penche du coté de mon manque de connaissance (je dois être passé à coté d'un outil).

Enfin Mathafou, merci, et pour être un peu plus détaillée (je ne voulais pas embrouiller les potentiels lecteurs) voilà d'un vient cette équation.
Je travaille sur un tableau de donnée regroupant le diametre (à plusieurs date) de 4 populations d'arbres ainsi que leur biomasse (masse de l'arbre coupé à la fin de l'année).
J'ai créé un graphique avec en x la biomasse en fin d'année et en y le diametre mesuré le même jour. J'ai utilisé le logiciel SigmaPlot qui m'a permis de fitter un model de régression linéaire me donnant la corrélation entre ces deux variables. Le résultat est l'équation que je vous ai donné, les valeurs de a b c et d dépendent de la population d'arbre et y je l'ai pour plusieurs date.
Le but est de pouvoir estimer la biomasse (x) à chaque date pour laquelle j'ai le diametre (y). Mon logiciel me donne uniquement l'équation et les valeurs de a b c et d et je ne sais pas faire autrement que résoudre l'équation et utiliser excel pour avoir mes biomasses estimées.
Voilà si ce n'est pas assez clair je peux reformuler.

Un grand merci en tout cas

Posté par
sanantonio312
re : Polynôme récalcitrant 01-10-18 à 14:36

La démarche:
\begin{matrix} \\ y=\dfrac{ax}{b+x}+\dfrac{cx}{d+x}=\dfrac{ax(d+x)+cx(b+x)}{(b+x)(d+x)} \\\: \\ Soit \\ y(b+x)(d+x)=ax(d+x)+cx(b+x) \\\: \\ Développement \\ (y-a-c)x^2 +(yb+yd-ad-bc)x+ybd=0 \\\: \\Discriminant \\\Delta = (yb+yd-ad-bc)^2-4(y-a-c)ybd \\\: \\Si\: \Delta=0,\: x=\dfrac{(ad+bc-yb-yd)}{2(y-a-c)} \\\: \\Si\: \Delta>0,\: x=\dfrac{(ad+bc-yb-yd)-\sqrt{\Delta}}{2(y-a-c)}\: ou\: x=\dfrac{(ad+bc-yb-yd)+\sqrt{\Delta}}{2(y-a-c)} \\\: \\Si\: \Delta<0,\: Pas\: de\: solution \end{matrix}
Pour implanter ça dans Excel par exemple:
Prévoir les cellules pour a, b, c, d et y
Dans une autre afficher le résultat du calcul du discriminant
Enfin, évaluer la ou les valeurs de x correspondantes en fonction du signe du discriminant.

Posté par
Hayumi
re : Polynôme récalcitrant 01-10-18 à 14:45

Super !

Il me manquait les règles pour le développement, c'est la dessus que je me cassais la tête!

Je suis super contente que vous preniez le temps de m'expliquer, sur certain autres forums on a pas voulu me répondre car "si tu n'es pas feignante tu cherche toute seule".
Sauf que je cherche déjà vraiment, je suis biologiste et je n'ai jamais été douée en maths, tomber sur une communauté comme la votre m'encourage à ne pas baisser les bras

Je vais tester cette solution tout de suite, il me sera facile de savoir la valeur du discriminant maintenant que j'ai compris la démarche. Plus qu'a appliquer ça sur mes valeurs connues pour vérifier que je n'ai pas commis d'erreurs.

Merci encore

PS : je vais regarder le lien que tu as mis, je n'y connais rien en python mais je devrais pouvoir trouver comment me simplifier la vie en creusant dans ce sens =)

Posté par
sanantonio312
re : Polynôme récalcitrant 01-10-18 à 16:14

En principe, je ne fais pas les calculs à la place des demandeurs.
Mais on repère vite ceux qui ont un DM à rendre, qui n'ont rien fait du week-end et qui attendent du tout cuit.
Parfois en se faisant passer pour la maman prétendue nulle!
La qualité de la présentation de tes travaux montre vite qu'il ne s'agit pas d'un exercice à rendre mais d'une aide plus directe.
Bon courage et au plaisir.

NB: Il ne faut pas exclure que, même si la présentation est "jolie", il y ait des erreurs de calcul ou fautes de frappe. Tes tests en diront plus.

Posté par
Hayumi
re : Polynôme récalcitrant 01-10-18 à 17:07

En effet pas de DM, juste l'analyse des données que j'ai obtenues dans le cadre des expériences de ma thèse !
Et je comprends enfin le sens de ce que disaient mes profs de maths à l'époque "un jour vous n'aurez pas la machine adéquat et vous regretterez de ne pas avoir bossé mon cours".
Bon au final j'ai testé l'équation mais elle me donne des valeurs aberrantes (si neg j'ai des valeurs de biomasse qui augmente quand le diametre diminue ce qui est physiologiquement pas logique et si est positif j'ai des valeurs avec un facteur 1000 j'aurais donc porté à bout de bras des arbres de quelques tonnes), je pense que le problème est plus complexe que ce que j'imaginais.
J'ai pris le problème à l'envers histoire de ne pas perdre plus de temps (j'ai donné à mon logiciel x = diametre et y = biomasse) mon nouveau modèle est beaucoup moins fiable mais me permet d'avoir de quoi travailler le temps de me creuser la tête pour trouver.

Je n'abandonne pas =)

Je vous souhaite une bonne fin de journée

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