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polynôme: resolution d'une équation
bonjour, suite a la correction d'un exercice en cour, je souhaite le retravailler, mais je ne sais pas du tout comment procéder
P(z)= z^3 - (5+i)z² + (10 + 6i)z -8 -16i
j'ai déja trouver la racine imaginaire pure : ib = 2i
d'où vient cette ligne ? comment à t'elle été trouvé ?
après développement, on atteint ceci:
on me demande ensuite de résoudre P(z)=0;
quand je regarde la correction, sur la première ligne j'ai ceci:
P(z) = (Z-2i)(aZ²+bZ+C)
P(z) = az^3 + (b+i(-2))z² + (c+i(-2b)) + i(-2c)
ensuite il y a ceci:
par identification:
a =1
b+i(-2a) = -5-i
c+i(-2b) = 10+6i
i(-2c) = -8-16i
pouvez-vous m'éclairez svp car je ne comprend pas du tout... Merci
Bonjour
Un nombre imaginaire pur s'écrit ib. On développe P(ib) et on identifie sa partie réelle et imaginaire à 0. Apparemment on trouve b=2.
Comme 2i est racine, le polynôme est divisible par z-2i.
On peut donc l'écrire
On développe et o, identifie les coefficients du développement à ceux du polynôme!
d'accord, je suis éclairé sur un point, mais pourquoi le polynome est divisible par Z-2i (pourquoi ' Z- ') et pourquoi on cherche à diviser.
merci
C'est un résultat général. Si P est un polynôme et si P(a)=0, alors P est divisible par X-a. En faisant la division, on écrit P(X)=(X-a)Q(X), et ensuite on cherche les racines de Q dont le degré est plus petit.
ah d'accord !! décidément, il me manque bien des cours, je n'ai jamais vu cette formule et l'exercice était censé être un rappel :s
donc avec un polynôme de degré 4:
P(z)= z^4 - (4+3i)z^3 + 2z^2 - (8i)z -4i
si P(x) = 0 alors
P(z) = (z-x)(az^3 + bz^2 + cz + d)
est-ce correct ? Merci
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