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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Polynome Z/pZ

Posté par
termina123
02-01-22 à 12:47

Bonjour, je bloque sur la fin de cet exo :
(a) Trouver les factorisations en irréductibles du polynôme X6 − 1 dans l'anneau C[X] et dans l'anneau R[X].
(b) Montrer que chacun des deux polynômes (X2−X +1)(X2−1) et (X2−X +1)(X3−1) divise X6 − 1 dans l'anneau Z[X].
Soient p un nombre premier et µ un élément de Z/pZ tel que µ2 − µ + 1 = 0.
(c) Montrer que µ est une racine du polynôme X6 − 1 dans Z/pZ, et que, si µ2 = 1 ou bien µ3 = 1, alors µ est une racine d'ordre au moins deux de ce polynôme.
(d) Montrer que si p2 et p3 alors µ est d'ordre 6 dans le groupe ((Z/pZ)∗, ×).

a) X6-1=(X-1)(X+1)(X2-X+1)(X2+X+1)
b)X6-1=(X2-1)(X2-X+1)(X2+X+1)
=(X3-1)(X2-X+1)(X+1)
c)µ est racine de X2-X+1 et de X2-1 dans un cas et de X3-1 dans l'autre donc est racine d'ordre au moins 2
d)P(X)=X6-1, µ est racine de P d'ordre 6 ssi P(k)(µ)=0 pour k allant de 0 à 5 et P60
j'ai P(1)(µ)=6µ5 mais je vois pas pourquoi ca doit faire 0

Posté par
Razes
re : Polynome Z/pZ 02-01-22 à 13:07

Bonjour,
Le coefficient est 6 qui est équivalent à 0 modulo 6.

Posté par
termina123
re : Polynome Z/pZ 02-01-22 à 14:54

Les polynômes dérivés sont les polynômes nuls dans Z/6Z mais aussi dans Z/3Z et Z/2Z sauf qu'on exclue 3 et 2, je vois pas le lien

Posté par
GBZM
re : Polynome Z/pZ 03-01-22 à 09:26

Bonjour,

Je pense que tu as mal lu l'énoncé. On ne te demande pas de montrer que \mu est une racine de multiplicité 6 de X^6-1, on te demande de montrer que \mu est un élément d'ordre 6 du groupe multiplicatif de \Z/p\Z, autrement dit qu'il est une racine primitive 6ème de l'unité.



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