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polynomes

Posté par KABANNE (invité) 14-09-04 à 11:54

J'ai du mal a démarrer l'exo suivant, alors merci de m'aider.

soit un polynome P. Prouver qu'il existe un nombre réel & tel que P peut s'écrire sur la forme
P(x) = (x-&)²Q(x) ssi P et P' ont une racine commune;

A quelle condition le polynome x^3 +px -q a t-elle une racine double?

MERCI A TOUS

Posté par Ver_de_Verre (invité) 14-09-04 à 14:06

Il s'agit de prouver la propriété et sa réciproque.
Une solution bientôt. (tit Kfé avant)

Posté par Ver_de_Verre (invité)Dans un sens ... 14-09-04 à 14:11

Coucou !

S'il existe \alpha\in\mathbb R  et un polynôme Q (à coeff dans \mathbb R) tel que
P(x)=(x-\alpha)^2Q(x)
alors P(\alpha)=0.
De plus, \forall x\in{\mathbb R}, P'(x)=2(x-\alpha)Q(x)+(x-\alpha)^2Q'(x). Donc P'(\alpha)=0.
Ainsi , P et P' ont une racine commune \alpha.

Posté par Ver_de_Verre (invité)Dans l autre sens ... 14-09-04 à 14:18

re coucou !

Supposons que P et P' ait une racine commune , disons \lambda.
Alors, P s'écrit :
P(x)=(x-\lambda)Q(x) où Q est un polynôme.
En dérivant, on obtient :
P'(x)=Q(x)+(x-\lambda)Q'(x)

Mais \lambda est aussi racine de P' donc P' s'écrit :
P'(x)=(x-\lambda)R(x) où R est un polynôme.

De ces deux dernières trouvailles, on obtient que
Q(x)+(x-\lambda)Q'(x)=(x-\lambda)R(x).

Ainsi , on peut exhiber (x-\lambda):
Q(x)=(x-\lambda)\left[R(x)-Q'(x)\right]

Donc P s'écrit :
P(x)=(x-\lambda)^2\times S(x) où S(x) est le polynôme R(x)-Q'(x)

Posté par kabanne (invité)aide svp sur les polynomes 14-09-04 à 20:26

slt à tous  de l'aide svt

soit un polynome P
Prouver qu'il existe un réel & tel que P peut s'écrire P(x) = (x-&)²Q(x) ssi P et P' ont une racine commune

*** message déplacé ***

Posté par
Tom_Pascal Webmasterre : polynomes 14-09-04 à 20:41

Déplacé car déjà traité.

Pensez à utiliser le moteur de recherche avant de poster votre question SVP

Posté par kabanne (invité)re : polynomes 14-09-04 à 20:47

merci a tous de votre aide et a bientôt


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