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polynomes

Posté par drogba (invité) 05-01-05 à 17:07

decomposez les fractions suivantes en une somme de fractions simples:

1) 3x^3-3x^2-x-5/x^3-2x^2+x-2
2) 2x^2+5x-4/x^4-x^3-x+1

Posté par
Nightmarere : polynomes 05-01-05 à 18:10

Bonjour quand même

Je te fais le premier tu feras le deuxiéme sur l'exemple

-------------------------------------
Tout dabord , les deux polynomes étant du même degré , avant de décomposer on élément simple on effectue la division euclidienne

on trouve alors :
\red3x^{3}-3x^{2}-x-5=3(x^{3}-2x^{2}+x-2)+(3x^{2}-4x+1)
(on a pas vraiment besoin de la poser , ca se fait de tête )
--------------------------------------
On a donc :
\blue\fbox{\frac{3x^{3}-3x^{2}-x-5}{x^{3}-2x^{2}+x-2}=3+\frac{3x^{2}-4x+1}{x^{3}-2x^{2}+x-2}}

-------------------------------------

Bien , à présent , factorisions le dénominateur : 2 est racine évidente :
\red\begin{tabular}x^{3}-2x^{2}+x-2&=&x^{2}(x-2)+x-2\\&=&(x-2)(x^{2}+1)\end{tabular}

-------------------------------------

On a donc :
\blue\fbox{\frac{3x^{3}-3x^{2}-x-5}{x^{3}-2x^{2}+x-2}=3+\frac{3x^{2}-4x+1}{(x-2)(x^{2}+1)}}

-------------------------------------
Décomposons alors \red P(x)=\frac{3x^{2}-4x+1}{(x-2)(x^{2}+1)} en élément simple.

Pour cela , trouvons les réels a , b et c tels que :
\red P(x)=\frac{a}{x-2}+\frac{bx+c}{x^{2}+1}
Aprés mise au même dénominateur et factorisation :
\red\frac{(a+b)x^{2}+(c-2b)x+a-2c}{(x-2)(x^{2}+1)}

Par identification , a, b et c doivent vérifier le systéme :
\red\{{a+b=3\\c-2b=-4\\a-2c=1}\
On substitu la premiére ligne :
\red b=3-a
on obtient donc de la deuxiéme :
\red\begin{tabular}c-2(3-a)=-4&\Longleftrightarrow&c-6+2a=-4\\&\Longleftrightarrow&c=-4+6-2a\\&\Longleftrightarrow&c=2-2a\end{tabular}
Et en resubstituant dans la troisiéme ligne :
\red\begin{tabular}a-2(2-2a)=1&\Longleftrightarrow&a-4+4a=1\\&\Longleftrightarrow&5a=5\\&\Longleftrightarrow&a=1\end{tabular}

Et en remplacant a dans chaque expression on obtient au final :
\red\fbox{\{{a=1\\b=2\\c=0}\
----------------------------
On en déduit la décomposition cherchée :
4$\blue\fbox{\frac{3x^{3}-3x^{2}-x-5}{x^{3}-2x^{2}+x-2}=3+\frac{1}{x-2}+\frac{2x}{x^{2}+1}}

----------------------------

Voila , à toi de jouer pour la deuxiéme


Jord

Posté par Yalcin (invité)re : polynomes 05-01-05 à 18:47

Pour deuxième essaies de retrouver avec la méthode que Nightmare a employée .
polynomes
Cordialement yalcin


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